Если куб тремя взаимно перпендикулярными центральными плоскостями разделим на восемь кубиков, то получим периодическую операцию, которую бесконечно можем продолжать в обе стороны. При этом объем куба уменьшается (или увеличивается) в восемь раз, то есть два в кубе. Но этот период очень просто разделяется на три меньшие периода с уменьшением (или увеличением) объема в два раза. В этой периодичностн особенную роль играют А) центры граней исходного куба и В) центры кубов низшего периода.
В статье "Результаты первой стадии экспериментального исследования структуры кристаллов» основным параллелоэдром обозначена тот наименьший параллелоэдр с отмеченными в нем расположениями атомов, из которого посредством элементов симметрии связи выводится вся система атомов. В системе атомов имеется поэтому несколько различных ориентировок основных параллелоэдров с их атомами, а именно по величине симметрии связи (см. статью).
Прямой опыт показывает, что явление кристаллизации есть явление весьма сложное, в котором решающую роль играют различные факторы. Хотя по закону Стено углы между соответственными гранями в кристаллах одного и того же вещества постоянны, но появление форм, обусловливающнх кристаллизацию, далеко не отличается полным постоянством. С первого раза представляется даже нечто обратное. От одного и того же вещества можно иметь кристаллы с очень ограниченным числом пар граней, в исключительных случаях не достигающем даже трех, а можно иметь и кристаллы с очень богатой комбинацией. Формы, слагающие комбинация, также весьма разнообразятся по своему развитию, и те самые формы, которые в одном случае являются преобладающими по своей величине, в других случаях отходят на второй план или даже совершенно подавляются другими формами.
Для установления структуры мы и раньше руководствовались не полною суммою комбинаций, какие проявляет данный кристалл, а только небольшим числом важнейших пар граней. В этом отношении, как видим, никакого изменения не произошло. Мы и теперь должны прежде всего отметить эти важнейшие формы, но раньше мы делали расчет плотности этих форм, так как все-таки в основе лежала последовательность граней по важности. Теперь этот расчет отпадает и даже значительно упрощается, потому что остается только по этим формам определить, в какой из трех поясов попадают эти формы.
Первоначальным материалом послужил горючий сланец, собранный при разведочных работах Н. Ф. Погребова. После отгонки светильнаго газа остается смола, послужившая материалом для данного исследования. При перегонке этого материала в водяной бане в трубке садятся кристаллические, весьма тонкие пластинки перегоняющегося органического вещества со включениями другого вещества с значительно большим преломлением и по-видимому способного к очень хорошей кристаллизации. Эта перегонка производилась г. Вальчисом.
Одна теорема состоит в том, что расстояние гномостереографической от линейной проекции в некоторой плоскости равно расстоянию от последней точки схода лучей. Доказательство сводится к тому, что точка схода лучей Z, гномостереографическая проекция Р и средняя точка линейной проекции плоскости О составляют вершины равнобедренного трехугольника, имеющего в основании первые точки, а это, в свою очередь, сводится к доказательству равенства углов при основании.
Так как на плоскости аналогичная задача разрешается весьма просто на основашн теоремы Паскаля, то весьма естественно, что мысль геометров упорно направлялась на отыскание простого решения вопроса для пространства, а неудача подняла этот вопрос на степень трудной проблемы. Теорему Паскаля можно формулировать различным образом, но, особенно с точки зрения современной reoметрии, для которой она послужила одной из первых основ, эту формулировку приходится связывать с коллинеацией, а именно такою, которая преобразует определяемую пятью точками коноприму, в самое себя. IIocтpoeние по теореме, аналогичной Паскалевской, переносится во все геометрические системы, в частности, и в систему плоскостей, но последняя теорема, как теорема непозиционного характера переносится только на родственные системы, а например, на систему плоскостей не переносится, также как для системы лучей на плоскости не применима только что приведенная теорема непозиционного характера.
Обратимся к аналогичным построениям в пространстве, являющимся следствием теоремы, аналогичной теореме Паскаля. Так как в основании построения по этой теореме находится nocтpoeние двух гиперболоидов линейной примы, к которой принадлежит и искомая коносекупда, а для этого нужно построить две гексапримы, то ясно, что данными могут являться такие касательные совокупно с точками касания на них, которые достаточны для построения гексаприм. Чтобы понять, почему теореме Паскаля, а следовательно и ей аналогичной, принадлежит основное значение, достаточно указать на то, что эти теоремы только частные выражения глубочайшей и наиважнейшей основной теоремы новой геометрии, по которой в двух проективных системах линейным совокупностям соответствуют линейные, квадратичным квадратичные, вообще совокупностям n-го порядка совокупности того же порядка. При этом пересечениям соответствуют пересечения, касаниям касания, инволюциям инволюции.
Автора заинтересовало не применение формулы для определения плоскостей симметрии, которое весьма ограничено, так как относится только к случаям, когда плоскости симметрии проходят через все оси симметрии (то есть только к зеркальным видам симметрии, когда симметричные фигуры могутъ быть воспроизведены в гоноэдрических зеркалах), а сама формула с ее численными соотношениями. 15 октября 1915 г. Тем же автором и в том же журнале (April 1916 р. 324) воспроизводится формула Миллера, приведенная в этих Записках (V 233). 4 мая 1916 г.
Цель этих препаратов—дать возможность во всех случаях, когда лабораторные кристаллы получаются из пересыщенных растворов параллельно гониометрическому произвести и оптическое исследование с возможно точною opиентировкой осей оптического эллипсоида. До последних лет я употреблял самодельные препараты, составляя их из обрезков покровных стеклышек, так нарезанных и наклеенных на предметное стеклышко, чтобы образовалось требуемое клиновое пространство для кристаллизации. Теперь я остановился на сравнительно простом и очень удобном для исследования типе, который вполне уясняется прилагаемым планом и разрезом микроскопического препарата (см. статью).
Я имею в виду ограничиться лишь более простыми выводами, употребляемыми мною на лекциях (см. статью). Из этой тройственности мы выводим необходимость ограничения для главных чисел символа комплекса, то есть, что для октаэдрической структуры нельзя принимать число, большее чем 63 1 / 2 °, для гексаэдрической можно принимать лишь числа в пределах 45° — 63'/ 2 °, а для додекаэдрической только числа больше чем 45°.
Эти немногие примеры (см. статью) дают в высшей степени важные указания на зависимость кристаллизации от расположения атомов в частицах сложного строения. В таких частицах, следовательно, необходимо отличать центральную и периферическую части (в простых частицах напр. ClNa это невозможно) и только последняя плотностью расположения атомов определяет положение возможных граней.
По сущности основного закона кристаллохимии положение каждого отдельного атома выражается в координатах (см. статью), где как числители, так и знаменатели целые числа, и притом знаменатели непременно числа, большие чем числители, если точки находятся внутри элементарного параллелоэдра или на его поверхности. Пользуясь результатами, мы по символам трех точек, легко уже непосредственно можем получить символ проходящей через них грани.
(По поводу книги Bowen The later stages of the evolution of the igneous rocks). Автор этой заметки давно различал между изверженными породами нормальные с более или менее строгими признаками химического равновесия и аномальные, не поддающиеся никаким законам равновесия и никакой строгой научной классификации, а несущими на себе яркие признаки последовательного хода явления, который, благодаря им и может быть выяснен в своей последовательности. Такие породы можно только описывать, а из описания выводить историко-геологические даты. Теперь, после опубликования важного труда Боуена невольно склоняешься к мысли о весьма слабой представленности нормальных пород и пожалуй даже их отсутствию; в природе представлены только приближения к ним, почему на них скорее приходится смотреть не как на нормальные, а как на идеальные.
В статье «Результаты первой стадии экспериментального исследования структуры кристаллов» (в примечании на стр. 361) установлен принцип определения структуры по параллелоэдру наименьшего объема, равносильный принципу установления системы параллелоэдров наивысшего порядка, допустимого для данной правильной системы точек. Критерием правильности построения параллелоэдра может служить испытание возможности иного, более специального, расположения одного из атомов представленных в химической формуле в наименьшем числе, или, еще лучше, если нет единичных атомов, помещение той специальной точки, которая занимает в параллелоэдре единичное положение.
Первое, что следует из сделанных наблюдений, это несомненная связь образования актинолита с разложением плагиоклаза. Ведь эта связь до того неразрывна, что, как упомянуто, авгит решительно нигде не прикасается к плагиоклазовым псевдоморфозам. Нам, конечно, неизвестна ближайшая первая причина разложения плагиоклаза и авгита и конечно, она сводится к остающемуся нам неизвестным содержанию составных частей проникавшего в породу минерализованного раствора, в состав которого, однако, должны были входить как СаО (от разложения плагиоклаза), так и К2О (иначе не образовалось бы мусковита), и при этом первая часть диффундировала из плагиоклаза, а вторая по направлению к нему. А так как в местах выхода диффундировавших частей из очертаний плагиоклаза мы видим превращение авгита в актинолит, и так как именно СаО есть единственная, исходящая из плагиоклаза, составная часть, содержание которой в актинолите больше, чем в авгите, то приходится заключить, что именно она и останавливалась и поглощалась авгитом, также задетым общим химическим изменением породы, более резким в плагиоклазе, чем в авгите.
По знаменитой теории Штейнера двумя данными на плоскости инволюциями пар точек на прямых определяется инволюция на любой прямой на плоскости то есть полная секунда инволюции. Определяющим фактором всех этих инволюций является линейная прима кривых, а именно коноприм (Kegelschnittbüschel по Штейнеру), имеющих общие две пары точек, из коих не только одна, но и обе могут быть мнимыми. Каждая прямая пересекает каждую кривую примы в пapе точек принадлежащей ей инволюции. Специально мы можем определить коллинеации двумя осями без всяких инволюций. Если оси, точки коих есть вещественные двойные точки всех инволюций, мы назовем вещественными, а оси изотропных инволюций назовем мнимыми, то получим, что всякая осевая коллинеация может быть определена парою осей, вещественной или мнимой (см. статью).
Если через какую-нибудь точку на квадратичном цилиндре мы проведем секущую плоскость (определяющую коноприму к), плоскость касательную и в ней какую-нибудь косую прямую d (не в плоскости кривой к и не производящую цилиндра), а затем из каждой точки этой прямой проведем в диаметральной плоскости цилиндра два луча через точки кривой к, то получим линейчатую поверхность 3-го порядка.
Системы точек и лучей на плоскости, как известно, не родственны. Но системе точек родственны секунды коноприм точек и лучей, имеющих три постоянные элемента, а из имеющих два постоянные элемента родственны только конопримы точек (тетрапримы). Теперь мы покажем, что секунды парабол лучей с двумя постоянными лучами родственна система лучей на плоскости.
Проективные отношения, выясненные в предыдущей заметке, получили бы высокую степень наглядности, если бы удалось установить простым построением такую коррелятивность между конопримами секунды и точками плоскости, чтобы экстраэлементам одной соответствовали экстраточки другой. В секунде коноприм лучей заключается прима таких, которые представлены парою точек (точнее парою линейных прим лучей). Так как в каждой линейной приме таких особых коноприм представлено три (из коих одна пара может быть мнимою), то совершенно очевидно, что приме особых коноприм лучей коррелятивна кривая 3-го порядка.
В предыдущей заметке мы разрешили задачу переноса всякого рода построений, произведенных на плоскости, в систему коноприм точек и лучей; и обратно, мы свели решения всякого рода задач в секундах коноприм точек и лучей, имеющих три постоянные элемента, к обыкновенным задачам на плоскости. Естественно является мысль распространить решение и на те простейшие случаи, когда в секундах коноприм имеются только два или всего один общий элемент.
На какой-нибудь коноприме мы можем произвольно взять две группы точек, по четыре в каждой, и по ним установить коллинеарность общего характера (см. статью). Цикл может состоять из различного числа точек, вплоть до бесконечности. Если например точка в коллинеации самогомологична, то весь цикл состоит из одной единственной точки; если имеем двойную гомологичность точек А и А', то весь цикл сводится к двум точкам и т. д. В общем случае цикл обнимает значительное число точек или даже их бесконечное число, и может случиться, что все точки конопримы входят в состав одного цикла. Если коллинеация, как-нибудь установленная по данным точкам, делает коносекунду самогомологичною, то задача построения точек последней, сводится к простой задаче коллинеарных построений.
В заметке „Полярные отношения мнимых трехугольников и четырехгранников" мы показали, что эти отношения тождественны с теми, которые определяются известным мнимым эллипсом или эллипсоидом, причем ни тот, ни другой не проходит через данные точки. Но из оснований, приведенных в этой заметке, следует, что могут существовать определенные полярные отношения вещественных трехугольников и четырехгранников. Эта работа составляет естественное продолжение предыдущей заметки, но относится к трехугольникам и четырехгранникам принятым за вещественные.
Выведя ряд главных совокупностей, как позиционных, так и непозиционных, мы можем теперь более отчетливо определить само понятие таковых. Главною совокупностью мы называем таковую, которая вполне и однозначно выводится по данному числу элементов, если всем этим элементам принадлежит в построении одинаковая роль. Если означим данные элементы буквами и выведем построение совокупности, вводя сначала элементы, отмеченные одними, а потом другими буквами, то если выводимая совокупность есть главная, то мы можем буквы по отношению к элементам переместить иначе, а построение остается справедливым, если в его порядке хода мы оставим, и прежние буквы.
Хотя предыдущая статья и представляет собою нечто законченное, доведшее главные совокупности до тех, которые определяются шестью элементами, но сразу бросается в глаза, что высшие из них— гексасекунды не представляют собою совокупностей наиболее общего характера—коносекунд, а только специальные их разности, могущие быть воспроизведенными прямыми то есть только линейчатые коносекунды. Только таковые вполне и однозначно определяются не более чем шестью точками и плоскостями. Так как именно коносекунды общего характера устанавливают полярную коррелятивность между точками и плоскостями в пространстве, то доказательство теоремы, о которой идет речь, сводится к тому, что такая коррелятивность может быть установлена ∞ 9 способами.
Известно большое число особых точек, положение которых строго выводится для каждого данного трехугольника. Эти точки открываются при изучении тех или других свойств трехугольников, число коих весьма значительно. Несмотря на всю простоту такого образа, как обыкновенный трехугольник, изучение его все-таки еще не может считаться исчерпанным и с течением времени, хотя и редко, открываются новые и новые свойства. Представляется задача найти ту точку, которая служит центром линейной примы лучей—поляр точек описанного круга. Для решения этой задачи достаточно найти, поляры двух каких-нибудь точек круга по отношению к трехугольнику; точка их пересечения и есть искомая. Она то и составляет ту новую особую точку трехугольника, о которой говорится в заглавии.
Как известно, эти поверхности IV порядка могут быть воспроизведены двумя проективными квадратичными примами плоскостей. Teopия этих поверхностей излагается в подробных руководствах. В общем случае на поверхности имеется гексаприма точек, в которых пересекается по два луча поверхности. Плоскости, проходящие чрез такую пару лучей, могут считаться касательными плоскостями, а так как плоское сечение поверхности в общем случае есть кривая IV порядка, то понятно, что если плоскость проходит чрез один из лучей поверхности, то эта кривая распадается на этот луч и кривую III порядка, а если плоскость проходит чрез пару лучей, то та же кривая распадается уже на эту пару и еще коноприму; отсюда видим, что касательные плоскости, проходящие чрез пары лучей поверхности, пересекают эту поверхность еще в коноприме.
В статье о линейных совокупностях лучей я показал, что система лучей не есть система самостоятельная, но что для нее нужно принять параметр в виде экстралуча, необходимо входящего в состав линейных совокупностей. Тогда линейная прима определяется вполне и однозначно двумя, линейная секунда тремя и линейная терция четырьмя произвольными лучами. Если даны три произвольные луча, то совокупно с постоянным четвертым экстралучом мы получаем необходимые и достаточные данные для определения лучей полной линейной секунды. Так как четыре произвольные луча в общем случае пересекаются парою секущих, вещественною или мнимою, то ясно, что линейную секунду мы можем определить не иначе, как совокупность лучей, пересекающих данную пару прямых а и b . Для простоты примем ее вещественною. Означим экстралуч, определяемый экстраточками этих двух общих секущих, чрез е.
По определению этой поверхности она воспроизводится двумя гомологичными квадратичными примами плоскостей. В общем случае на этой поверхности имеется гексаприма двойных точек, в каждой из которых пересекаются два луча поверхности. Коррелятивное преобразование дает такую же поверхность, так как каждой точке с двумя пересекающимися лучами, коими определяется касательная плоскость, коррелятивная касательная плоскость с двумя лучами в ней, пересекающимися в точке касания. Следовательно, такую поверхность мы можем воспроизвести и коррелятивным путем то есть определить ее двумя конопримами с установленной проективностью точек.
Терции лучей, представляющие так называемые нулевые системы и вполне и однозначно определяемые пятью произвольными лучами, обыкновенно называются линейными в виду того, что в каждой плоскости и из каждой точки пространства имеется прима лучей, пересекающихся в одной точке и заключающаяся в одной плоскости; такая прима лучей в плоскости или исходящих из одного центра называется линейною. Но для системы лучей, определяемой, как параметром особым экстралучом, такие примы уже не есть линейные, так как последние необходимо должны заключать в себе этот экстралуч. Поэтому и сами нулевые системы не представляют в этой системе линейных терций, а есть терции квадратичные.
Ряд последовательных усовершенствований в точном изображении химического состава горных пород показал, как найти фигуративную точку химического состава по данным четырем отношениям окислов. Однако пространственное положение этой точки определяется не одною, а двумя проекциями на взаимноперпендикулярных плоскостях по методу начертательной геометрии. Хотя во всех других отношениях была достигнута высшая достижимая простота, но все-таки наглядность в изображении несколько страдала именно вследствие изображения в двух проекциях. В этой статье я имею в виду систематически изложить ход всех операций, необходимых для графических изображений так, чтобы они стали ясны даже для лиц, не имеющих понятия ни о тетраэдрической схеме, ни о системе векторальных кругов.
В третьем выпуске „Универсального Метода Федорова", в главе VII—„исследование дисперсии"— В. В. Никитиным описан идокраз, обладающий резкой дисперсией двупреломления. Кроме того он обладает еще и тем свойством, что в пределах одного и того же зерна, в различных его участках, величина двупреломления различна. Благодаря этому интерференционная окраска не однообразна на всем протяжении зерен идокраза. В сечениях близких к параллельности оптической оси—четверной оси симметрии кристалла—цвета располагаются полосами, параллельными друг другу: центральная часть зерна имеет белую интерференционную окраску, за ней следует полоса с мастично-желтой окраской, затем—с пурпуровокрасной и, наконец, края зерна окрашены в пурпурово-фиолетовый цвет.
Ю. В. Вульф любезно обратил мое внимание на весьма маленький, но образцовый учебник Миллера Tract on crystallography, вышедший в Кембридже в 1863 году. Это книжечка всего в 86 страниц, но тут не только перечислены и изображены главнейшие формы кристаллографа, но, что для нее особенно характерно, приведены и выведены главнейшие формулы для вычисления и притом по той оригинальной для автора системе, в которой преобладают двойные (ангармонические) отношения. Формулы Миллера впервые ввели в практику вычислительной кристаллографии начала новой геометрии, хотя еще их вывод целиком основывается на формулах плоской и сферической тригонометрии.
П. П. ф. Веймар любезно прислал мне скляночку с крупными кристаллами при письме: «На дне склянки, куда сливались реактивы при мытье посуды образовались кристаллы зеленого и желтого цвета; эти кристаллы я Вам посылаю; быть может они интересны для Вашего кристалло-химического анализа». Кристаллы разных цветов оказались и разной величины и разного облика. Желтые кристаллы ясно пластинчаты; толщина пластинок чуть не в полсантиметра, а наибольший их размер превышает два сантиметра. Зеленоватые кристаллы представлены в более изометрическом виде и по линейным размерам по крайней мере в четыре раза меньше.
Общий закон, о котором идет здесь речь, состоит в том, что кристалл, выпадающий из раствора, стремится принять наименьшую поверхность. Этот, имеющий простую и общеизвестную теоретическую основу, закон, обыкновенно демонстрируется примерами кристаллизации, или вернее перекристаллизации, требующей продолжительного времени, даже месяцев, или по крайней мере суток. Я наткнулся на препарат, на котором это демонстрирование может продолжаться несколько секунд; этот препарат есть натровая селитра, микроскопические кристаллики которой растворяются от дыхания в несколько секунд и приблизительно в такое же время выкристаллизовываются вследствие испарения. Благодаря этой быстроте конечно так же быстро демонстрируется и упомянутый закон.
Инволюторно-коллинеарные преобразования относятся к самьм элементарным операциям новой геометрии. Но при этом всегда имеется в виду преобразование вещественных геометрических образов. Задача преобразования мнимых образов, напр. мнимых кругов, как кажется, и не была ставима, и представляется непонятной. При исследовании системы пар лучей эта задача представилась во всей ее реальности в следующем виде. Если даны две пары лучей, мы принимаем их за две пары касательных парабол, которая легко и строима, и таким образом, находима, линейную приму пар лучей, центры которых составляют прямую, а сами пары лучей— пары касательных к параболе.
К самым первым началам новой геометрии относится теорема, по которой проективность на примах (линейных и квадратных) устанавливается соответствием трех элементов. Поэтому, если на плоскости даны четыре произвольные прямые, то каждая из них в пересечении с тремя другими дает три точки, и этого достаточно, чтобы установить проективность точек на всех этих прямых, потому что на каждой из них имеем по три соответственный точки. Если сферические совокупности заданы частью вещественными, частью мнимыми конопримами, то по ним нужно строить две линейныя совокупности одинаковой ступени, из которых для одной нужно переменить значение разряда коноприм: вещественный принять за мнимый и обратно.
Главнейшие разряды гексаприм, или того, что принято называть пространственными кривыми 3-го порядка, были выведены Зейдевицем и приводятся в известном руководстве Рейе под названиями 1) пространственная гипербола, 2) пространственный эллипс, 3) параболическая гипербола и 4) пространственная парабола. Эта заметка явилась результатом задания: можно ли построить гексаприму, обладающую симметрией? Термин гексаприма означает такую приму точек, которая вполне и однозначно определяется шестью точками, а пространственная кривая 3-го порядка и есть именно такая кривая. Получаем три построения, приводящие к гексапримам трех видов симметрии (см. статью).
В прежних своих работах я рассмотрел ряд геометрических систем, элементы которых состоят из пар точек. Простейшая и важнейшая из них система параллельных векторов затем системы гармонических отрезков и векторов, наконец система средних точек гармонических пар. Но во всех этих рассмотренных системах вводится некоторое ограничено или в виде векторальности или в виде особого параметра системы. Здесь я имею в виду рассмотреть систему таких элементов, данных без всякого ограничения, то есть представляю себе, что элементом системы на плоскости может быть произвольная пара ее точек, которая вместе с тем составит и отрезок.
Эта теорема весьма просто разрешает задачу, которую можно следующим образом формулировать как задачу элементарной геометрии (см. статью). Несмотря на всю простоту решения ее как задачи в системе кругов она едва ли разрешима на основании теорем элементарной геометрии. Понятно, что эту теорему можно непосредственно перенести в систему шаров, заменив в ней слова „круг“ словами ,,шар“. Для доказательства же достаточно принять централь Q R, за ось вращения. Таким образом в самом общем виде разрешается и задача нахождения центров сферотерций шаров, которая раньше была разрешена посредством формул.
В предыдущих работах мною подробно разработана система векторов. Но так как векторы по существу представляют пары точек, хотя и неравнозначных (начальную и концевую) и так как каждой точке можно установить коррелятивно лучи, то ясно, что системами векторов могутъ быть коррелятивны системы пар лучей, которые едва ли можно назвать иначе как векториальными. Но если на плоскости рассуждать о векториальных парах лучей несколько затруднительно, то я, ради полной ясности, предпочитаю установить такую последовательность систем, входящих в состав всех линейных прим этой системы.
Мы пришли к тому заключению, что система лучей может быть введена в общий ряд геометрических систем, и ее мы можем привести в общую коррелятивную связь. Но только эта система относится уже не к числу самостоятельных, а к числу систем, ограниченных определенным параметром, за каковой мы должны признать некоторый экстралуч, постоянный для всех линейных прим, подобно тому, как мы имеем аналогичную систему точек с параметром точкою, входящей в состав всех линейных прим этой системы.
Всякая вообще совокупность кругов не будет отличаться от совокупности кругов предыдущей системы, но составит лишь половину совокупности этой системы, причем линейные примы и секунды кругов обыкновенных останутся таковыми и для этой системы; но линейные совокупности векторальных кругов предыдущей системы уже не будут таковыми для этой системы, потому что касательные линейные примы предыдущей уже не есть линейные примы этой системы. Легко доказать, что в этой системе совокупности векторальных кругов и вообще отсутствуют, ими даже нельзя задаваться. В самом деле, если я задамся, например, правым векториальным кругом, то диаметрально ему противоположный есть уже левый векториальный круг; получаются в сущности два векториальные круга, которыми вполне и однозначно, определяется их линейная прима на сфере; ясно, что в ее присутствии еще третьим, произвольным, кругом задаваться нельзя; вообще, он бы уже не вошел в состав определенной линейной примы.
В статье „Простое и точнее изображение точек пространства 4-х измерений на плоскости посредством векторов" не только подробно рассмотрена система векторов на плоскости, но и указаны основания построения линейной примы векторов в пространстве по двум данным, а именно, что эта линейная прима состоит из отрезков производящих гиперболического параболоида, заключенных между двумя направляющими, из коих одна есть линия начальных, а другая -- линия концевых точек, причем само построение может быть произведено разложением двух данных векторов на слагающее по трем осям координат и построением по слагающим линейных прим параллельных векторов; три вектора с общею начальною точкою, но параллельные осям координат, какие бы направления мы ни избрали для последних, и есть слагающие векторы линейной прямы; концевая точка последнего находится на прямой концевых точек.
Применение Рентгеновских лучей дало в руках В.Л. Брагга (и его отца) средства, которые привели к заключениям, чрезвычайно важным для теории структуры кристаллов. Отчасти эти заключения неожиданны, по крайней мере в том отношении, что ожидалось видеть в точках правильных систем центры химических частиц, тогда как опыты названного ученого привели к выводу, что это центры атомов. Благодаря этому в веществах простейшего химического состава получаются и специальные правильные системы точек, причем центры симметрии заняты отдельными атомами, как будто сами атомы также имеют высокую симметрию.
Настоящая заметка вызвана прежде всего желанием представить окончательный вывод Брагга в более наглядной форме; а затем, в виду совершенной оригинальности этого вывода и довольно резким расхождением с нашими прежними представлениями о строении частиц явилось желание решить, возможно ли его согласовать с ними. Вдумываясь в расположение атомов, мы легко поймем, что оно двоякого рода. Одни атомы занимают положения центров ромбических додекаэдров, другие — положение таких четырех тригональных вершин додекаэдра, что в совокупности принадлежат тетраэдру. Именно таким расположением обусловливается гексакис—тетраэдрический вид симметрии, и, хотя расположение центров частиц одних соответствует додекаэдрической структуре, но дело изменяется расположением других атомов.
Строго говоря, проекций можно построить столько же, сколько и геометрических систем второй ступени то есть безграничное количество, и если я сейчас хочу упомянуть о таковых, как новых кристаллографических, то исключительно поэтому, что они представляют своеобразные удобства для решения и некоторых кристаллографических задач, не доставляемые другими проекциями. Здесь я имею в виду те проекции, которые получаются из линейной и гномонической если их подвергнуть преобразованию обратными радиусами, почему их можно назвать соответственно грамма- и гномоциклической.
В прежних работах были даны приемы такого определения с помощью таблиц Соколова и Артемьева за исключением случаев, перечисленных в заглавии, если только полюс, соответствующий двойной оси симметрии не есть одновременно полюс грани (1000). Во всех этих случаях предполагается производство определенных сдвигов для определения плотности граней главного пояса. В этой заметке я покажу, что и для этих случаев можно обойтись без сдвига (см. статью).
Хотя бы из предыдущей заметки можно видеть, какое значение при первоначальном изучении кристаллографии иметъ вывод специальных простейших формул для опредения плотности изотропных комплексов, кубического и гипогексагонального, начинающие лучше и легче всего знакомятся с техникой определения плотностей по таблицам именно на примерах изотропных комплексов, так как простые формулы дают идеальный контроль сделанным определениям и сразу же практически знакомят их с степенью точности или скорее неточности графических операций.
Известные свойства гномонических проекций тригоналоидных кристалов натолкнули меня на присутствие, показавшихся мне парадоксальными, упомянутых в заглавии отношений. Для рассматриваемого случая теория полюсов и поляр развертывается в обычном ее виде: две точки есть полюсы двух поляр и, в свою очередь, определяют прямую—поляру точки пересечения этих поляр. Каждой вершине трехугольника полярна противолежащая сторона и т. д. и ни в одном случае нет точки, чрез которую проходила бы ее поляра, как это имеет место для мнимых коноприм проективности (см. статью).
Теорема Паскаля лежит в основе учения о конопримах, выражая их коренное свойство вполне и однозначно определяется пятью элементами. В современном обобщенном виде она может быть выражена (см. статью). Это выражение наглядно свидетельствует о глубокой органической связи каждого шестого элемента с пятью остальными, определяющими коноприму. Более простым аналогом этой теоремы могут служить известные теоремы, выражающие коренные свойства сфероприм и сферосекунд.
Содержание этой заметки составляет непосредственное следствие предыдущей. В ней приведена теорема, дающая возможность по семи произвольными точкам построить гексасекунду. Так как гексасекунда есть образ позиционный и коррелятивно переносится во все геометрическиение системы, то и построение гексасекунды плоскостей по семи данным подразумевается само собою. Но если даны только шесть плоскостей, то экстраплоскость всегда находится, как седьмая, в нашем распоряжении и в счет не входит как единственная в своем роде.
Если в рассмотрение примем только с одной стороны плоскость, а с другой—гомологический гиперболоид, то и тогда можем признать родственность этих линейных секунд точек, потому что безконечно удаленным точкам первой системы, а следовательно и полной их линейной приме, гомологичны точки прямой пересечения гиперболоида с плоскостью инволюцш, а следовательно и всю эту прямую как линейную приму экстраэлементов. Отсюда, в частности, следует, что если во второй системе даны три произвольный точки, то определяемая ими сфероприма легко получится таким образом; проектируем эти три точки через центр Z на плоскость, строим по ним круг, и точки последнего обратным проектированием переносим на параболический гиперболоид. Так же проектируется и центр этой сферопримы. Ясно, что этоъ центъ на гиперболоиде по отношению к сфероприме есть полюс упомянутой прямой на гиперболоиде.
Приступая к гониометрическому исследованию кристалла, исследователь еще не может предвидеть, как придется целесообразно ориентировать кристалл на гониометре, чтобы по окончании работы простейшим образом по полученной диаграмме вывести символ комплекса— первой цели всякого гониометрического исследования. Отсюда ясно, чго вообще, когда вопрос о правильной установке кристаллографического комплекса решена он окончательно решается лишь по окончании ряда измерений, вывода наиболее существенных граней и рассчета плоскостей—приходится произвести преобразоваше плоскости проекции, приняв за окружность проекции главный пояс.
Пользуюсь случаем, чтобы в тысячный.раз отметить преимущества метода новой геометрии, теоремы которой не знают исключений, а всегда имеют совершенную общность. Этим автором уже приводится сообщенное мною ему доказательство эго теоремы но методу новой геометрии. Мне представляется гораздо целесообразнее и проще теорему А.К. Болдырева формулировать следующим образом (см. статью). Теорема А.К. Болдырева в обобщенном, по методу новой геометрии виде, раскрывает одно из интересных свойств сфероприм векториальных кругов.
В отношении теории конфокальных совокупностей сделанный вывод показывает, что совокупность поверхностей, выводящаяся из принятой за фокальную кривую мнимой гиперболы, не представляет ничего нового, и вошла в состав тех, которые выводились на основании вещественной гиперболы. Если принять во внимание, что в общем случае мы имеем связанный главной осью две фокальные кривые на двух взаимно-перпендикулярных плоскостях симметрии, из коих одна — эллипс, а другая — гипербола, что на третьей плоскости симметрии фокальная кривая не может быть ни эллипс, ни гипербола, и, как теперь оказывается, мнимая гипербола, то остается возможным к допущению лишь мнимый эллипс, чем вывод фокальных кривых и заканчивается. В заключение отметим, что можно вывести инволюции и на бесконечно удаленной плоскости; так как для нее из любой точки проектируются три нормально сопряженных луча, то соответственная кривая проективности есть мнимый круг, и это имеет место для всяких конфокальных совокупностей в пространстве.
Представляю в настоящей статье но возможности полный список кристаллов кубической сингонии, полученных до настоящего времени. Тут мы действительно имеем дело с рядом исключительных по своим свойствам веществ, как исключительны формы кубической сингонии посреди всех остальных. Когда список составлен, эта исключительность в химическом составе веществ бросается в глаза хотя бы возможностью разделения их на те немногие рубрики, который положены в основу моего изложения. О других особенностях химического состава веществ этого ряда будет реч в конце статьи. Мне необходимо было составить этот список уже потому, чтобы из опиеанных выделить те кристаллы, которые не подлежат определению по методу кристалло-химического анализа.
В статье поднимается вопрос построения ребер по символам в кристаллах для комплексов гипогексонального типа, который пока еще никем не поднимался. Разрешается же он, конечно, чрезвычайно просто и притом вполне аналогично с разрешением его для кубическаго типа. Мною было показано, что в комплексах гипогексагональнаго типа символы ребер таковы, что в частном случае гипогексагонально-изотропного комплекса индексы ребер и перпендикулярных граней одни и те же, как это и требуется учением о сингонии (потому что в этом случае эллипсоид сингонии есть шар).
В граммастереографической проекции всякая плоскость проектируется дугою большого круга, то есть дугою проходящею через две диатметрально-противоположные точки окружности проекции. Этот круг представляет одно круговое сечение конуса, имеющего центр в точке схода лучей; другое круговое сечение того же конуса есть диаметральный круг сферы в проектируемой плоскости. Повидимому до сих пор ни один кристаллограф не отметил, что эти проектирующее конусы не есть конусы общего характера, а есть конусы особые, называемые конусами Паппуса, впервые отметившего их простое построение. Обе особые оси проектирующая конуса есть перпендикуляры к обоим круговым сечениям то есть перпендикуляры как к данной плоскости, так и к плоскости проекции (см. статью).
В этих Записках (III 287) мною посвящена этому предмету заметка, в которой я ограничился лишь полным вывидом относящихся сюда геометрических образов. Тот же вывод, конечно, могъ бы быть произведен и другими путями, которые должны были бы привести к тождественнымъ результатам. Все конопримы напр. можно вывести коллинеарным преобразованием из кругов, но также путем засечек двух проективных прим лучей, и из элементарных руководств усматривается, что последний пример если не вернее, то по крайней мере нагляднее, и в этом смысле проще (см. статью). Из упомянутой вначале заметки явствует, что существование специальных кругов и шаров вносит большую разруху в установившиеся, даже не веками, а тысячелетиями, представления о круге. Как в ней доказано, из этого понятия совершенно должно быть устранено представление о центре и равных радиусах.
К затруднениям в кристаллографической практике относятся затруднения в составлении таблиц кристаллохимического анализа и собственно приемы исследования. Автор формулирует ход операций, необходимых для полного геометрического исследования кристаллов одного вещества, предполагая, что гониометр выверен и удовлетворяет условиям, изложенными выше (см. статью). Перед каждым отдельным рядом измерений следует начинать с установки нуля. Первое измерение, приводящее к составлению диаграммы в стереографической проекции и, служит для ближайшего ознакомления с кристаллом и выбора основных граней. Если вещество было уже описано, то нередко это первое измерение позволяет вывести правильную установку и связанный с нею символ комплекса, а следовательно и определить вещество по таблицам.
Если мы зададимся видом симметрии и, согласно с ним, на один данный шар будем укладывать равные шары слоями по расстоянии их центров от центра данного шара и притом так, чтобы эти шары входили в углубления между предыдущими шарами и образовали правильную совокупность, то число шаров слоя будет вполне определенное, а именно будет равно величине симметрии в общем случае, когда направление радиуса-вектора каждого такого шара (начинающегося от центра начального шара) будет общим (то есть ни совпадать с осями симметрии, ни находиться в плоскостях симметрии), и будет определенным делителем этого числа в частных случаях. Рассмотрю три совокупности шаров гексакисоктаэдрического вида симметрии соответственно трем возможным в этом случае системам параллелоэдров: трипараллелоэдров, гексапараллелоэдров и гептапараллелоэдров, а также совокупность дигексонально-бипирамидального вида симметрии (и система тетрапараллелоэдров).
Мнимым кругам в решении геометрических и кристаллографических задач принадлежит весьма важная роль. Огромную роль играют и мнимые шары. Но при решении некоторых задач, относящихся к некоторым простейшим совокупностям мнимых кругов и шаров, как задач элементарно- геометрического характера, возникают затруднения, которые легко устраняются именно благодаря простым свойствам этих совокупностей. В статье рассмотрены возможные пути решения этих задач.
Если, приняв центр конуса за центр сферы пересечем его поверхностью этой сферы, то конус заменится сферической конопримою, почему поставленная задача сводится к распознаванию разрядов коноприм на сфере. Аналогичная ей задача определения разрядов плоских коноприм разрешается определением вида инволюции точек конопримы на экстрапрямой (бесконечно удаленной) или инволюции лучей в ее центре. В статье выводятся новые разряды коноприм и способ их распознавания.
Те многочисленные и полезные результаты, которые получились от составления диаграммы сферических коноприм, побудили меня заняться, как более простым случаем, составлением диаграммы плоских коноприм. Конечно, в обоих случаях разница громадная. Там мы имеем дело с секундою коноприм; здесь только с примою, так как совокупность всех подобных коноприм приходится рассматривать как одну единственную. Там каждая коноприма характеризуется угловою величиною двух осей, которые всегда вещественны; здесь вещественна всегда только главная (большая) ось, малая же ось в гиперболах есть ось мнимая. Диаграмма основана на соединение в одно всех подобных коноприм. Но в составе гипербол есть поразительное исключение в отношении подобия, а именно крайняя разность гипербол с равными углами между ассимптотами то есть сама пара ассимптот, как гипербола, не может быть названа подобною всем остальным. По этой причине в диаграмму вовсе не вошли специальные гиперболы, состоящие из пары лучей.
Автор составил прилагаемую при сем диаграмму, воспользовавшись, также, как и для диаграммы сферических коноприм, стереографическою сеткою, исключив из последней малые круги. Диаграмма коносекунд, также как и диаграмма плоских коноприм, построена на принципе подобий, то есть все подобные коносекунды приняты за одну. Главную цель диаграммы автор усмотрел в том, чтобы определить по отношении трех главных осей коносекунды те три конопримы, которые в коносекунде образуются в трех плоскостях ее симметрии.
Рассматриваются формулы сферической тетрагонометрии, которые также применимы к плоской тетрагонометрии. Для практических целей кристаллохимического анализа употребляющиеся графические приемы вполне достаточны, несмотря на связанную с ними неточность. Но с течением времени, по мере расширения материала, все больше и больше будет ощущаться потребность в замене более грубо полученных чисел более точными, что во многих случаях сократит все усложняющийся труд отыскания в таблицах вещества, определенного в виде символа комплекса. Ближайшее ознакомлено с предстоящею задачею показывает, что здесь не просто приходится решать сферические трехугольники по трем данным углам, что именно исчерпывается сферическою тригонометрией, но что здесь представляется возможность вычислять сферические элементы, в неопределенном числе получающиеся построением по данным четырем точкам, и находить для каждого такого элемента соответствующую формулу, выражающую его даже при произвольном изменении в положении четырех основных точек.
Опыт показал, что в настоящее время тех приближенных чисел, которые получаются сравнительно грубыми графическими приемами, вполне достаточно для индивидуальной характеристики каждого вещества, то есть для кристаллохимического анализа. Но по мере накопления описанных кристаллографически новых веществ, а такое накопление идет ускоренным ходом, должно когда-нибудь наступить время, что потребуется большая точность в выражении результатов измерения.
Именно этой задаче посвятил Штейнер свое знаменитое сочинение о линейных примах коноприм (Kegelschnittbüschel) и именно в нем он изложил ее с такою исчерпывающею полнотою, что решительно не было бы нечего прибавить к этому, если бы только он наперед не ограничил свою задачу вещественными конопримами; между теми данными могут быть и мнимые конопримы, хотя бы в сущности и только эллипсы, так как мнимые гиперболы равносильны с вещественными гиперболами с теми же ассимптотами, так называемый сопряженный.
В самых основах новой геометрии лежит понятие об инволюции и различается два случая: инволюция с парою вещественных (гиперболическая) и парою мнимых (эллиптическая) двойных элементов. В частности, как для точек на прямой можем от одного вида инволюции перейти к другому, если одну из систем точек, составляющих инволюцию так перевернем, чтобы точки, который были сопряжены сами ceбе (двойные) стали сопряженными друг другу, так в инволюции на плоскости (полярная система) та коноприма, которая определяет инволюцию, становится мнимою (см. статью). Выясняется различие между вещественною и мнимою конопримою, также как и вещественною и мнимою коносекундою. На примере представлены полярные отношения для всех мнимых коноприм и коносекунд.
По странной случайности ни один геометр, насколько мне известно, не задавался системою сфероприм лучей, тогда как система сфероприм точек была одною из первых установленных геометрических систем, если не считать столь опередившего свое время системы коноприм как точек, так и лучей, выведенный господином Штейнером. В основании построения системы находится линейная прима; и вот теперь мы зададимся построением линейной примы сфероприм лучей.
В статье „Parolleloëder in kanonischer Form und deren eindentige Beziehung zu Raumgittern" я развил понятие о параллелоэдрах в канонической форме или просто каноничееких парадлелоэдрах, приняв за главное такое двойство вывода этих параллелоэдров из пространственных решеток, чтобы этот вывод был однозначен. Однако в этой статье я рассмотрел лишь одну сторону вопроса, связанную этими угловыми отношениями кристаллических комплексов, которые в соответствии с кристаллографическим законом пределов приближают всякие вообще кристаллографические комплексы к идеальным типам; ими характеризуются распределение углов, ими которое обусловливает принадлежность этих типов к определенным видам сингонии, и в них первую роль играют прямые углы (см. статью).
В статье «Paralleloëder in kanonischer Form und deren eindeutige Beziebung zu Raumgittern» я показал, что, произведя моноклинный сдвиг, можно всегда получить тождественную пространственную решетку, и при том этом иногда можно уменьшить анортогональность, отчего выражение для вероятности правильности установки повысится, хотя бы от этого символы форм и стали более сложными. Но я не остановился подробно на критерии того, при каком именно сдвиге решетка остается тождественною. Это пояснение я и хочу сделать в этой заметке.
Чем больше накопляется обработанного материала по расчету правильной установки, тем резче выступает необходимость ограничиваться при этом расчете минимальным числом важнейших граней. Лабораторные кристаллы чаще всего отличаются минимальным числом проявленных форм. Это подтвердилось и на примере барита. Несмотря на их облик, почти не отличающийся от обычного облика многих природных кристаллов барита, комбинация их минимальна и через это особенно подчеркиваются первые по важности грани.
В этой заметке нет ни каких-либо существенных нововведений, ни какого-либо систематического решения графических вопросов. Но при том широком развитии графических решений, какое получила кристаллография в самое последнее время, а особенно при введении кристаллохимического анализа, самое незначительное упрощение или сокращение в приемах получает весьма существенное практическое значение. Наконец, некоторые правила, приводят к сокращению графических операций по особой специальности их приложения лишь в определенных, хотя и многочисленных, случаях, неудобно помещать в элементарных курсах, где должны получать место лишь правила наиболее общего значения, и притом излагаемые систематично, чтобы учащиеся получили действительную возможность решать задачи всякого рода, хотя бы и не всякий раз простейшим образом.
В виду того, что в настоящее время таблицы для этого анализа составлены, можно было начать применение этой научной дисциплины. Всего составлено 5 таблиц, а именно все тетрагоналоидные кристаллы разделены на 3 таблицы по структурам (гексаэдрической, додекаэдрической и октаэдрической), и кроме того по одной таблице для кристаллов гипогексагонального типа и тригоналоидных (для последних структуры отмечены только для идеальных кристаллов в виду их значительного скопления). На всех таблицах выделены в особую графу идеальные кристаллы, и для них именно мы имеем наиболее густое расположение точек, почему, имея еще в виду неизбежные неточности в графически полученных константах, для таких кристаллов в особенности придется сравнивать наибольший ряд кристаллов.
На энигматические грани практически можно смотреть как на иррациональные, недопускаемые основными законами кристаллографии. Предположение их иррациональности подтверждено и их зарастанием при контакте с важною гранью комплекса, смоченном насыщенным раствором вещества, причем часть последней грани подвергается растворению. Кроме этой характеристики, энигматические грани характеризуются своею одиночностью и неповторяемостью.
Эта поправка вносится мною к заметке «Интересный кристалл апатита, спутника нептунита из Калифорнии». (Записки Г. И. II 253) на основании письменного указания д-ра Славика из Праги, заметившего мою ошибку на основании данных моего же описания, главным образом плеохроизма. Испытав твердость, которая оказалась несколько выше ортоклаза, я могу теперь о происшедшей ошибке заявить с полным убеждением.
В последней статье „Химические отношения горных пород и их графическое изображение" я остановился на методе тетраэдрического изображения, предложенного мною еще раньше, как на методе наиболее совершенном и простом. И в настоящую минуту, имея в виду дальнейшее упрощение того же метода, я останавливаюсь на нем же, как на наиболее совершенном. Таким образом, целью этой заметки не только не является рассмотрение теоретических вопросов при помощи этого метода, сделанное мною в упомянутой статье, но даже нет мысли вводить какое-либо изменение в его приложениях. Все, что развито в этой статье, остается для меня одинаково правильным и в настоящую минуту. Теперь только я имею в виду показать, что метод, предложенный тогда, может быть применен в самых разнообразных формах и избрать из них именно ту, которая связана с простейшими операциями.
Если дан трехугольник АВС и мы определим в нем точку высоты D (то есть общую точку пересечения перпендикуляров из его вершин на противоположные стороны), то ABCD можем принять уже за полные четырехугольники с парами противоположных сторон АВ с CD, ВС с DA и СА с BD. Проведя круг чрез основания (а 1 , b 1 , c 1 ) перпендикуляров на сторонах трехугольника, мы получаем круг Фейербаха, который, кроме этих трех точек, пройдет еще чрез шесть средин только что перечисленные стороны полного четырехугольника, то есть точки а 1 , b 1 , c 1 , а 1 ׳ b 1 ׳ , c 1 ׳
В моей статье о системе шаров я изложил их линейные и сферические совокупности, коллинеарное и реципрочное преобразование этих совокупностей, но совершенно не коснулся специальных кругов, имеющихся в каждой их линейной приме. Подразумевалось только, что посреди всех кругов такой примы имеется круг бесконечно большого радиуса, и такой круг есть прямая линия, составляющая радикальную ось примы. Как бы в противоположность этому, в научной литературе, начиная со Штейнера, подразумевается, что в линейной приме кругов специальной является не прямая, а пара прямых, из которых одна и есть радикальная ось, а другая есть бесконечно-удаленная прямая; но мне неизвестно, чтобы где-нибудь специально был разобран вопрос о специальных кругах. Настоящею заметкою я имею в виду заполнить этот пробел.
Рассмотрим системы кривых 2-го порядка (коноприм). В системе коноприм точек за экстраэлементы можно принять круги, потому что эти элементы составляют сами по себе особую систему и в то же время какая-угодно кривая с кругом определяет линейную приму. Но вообще в линейной приме такого экстраэлемента не имеется, а только в линейной секунде. Но можно составить линейную секунду и из линейной примы обыкновенных (а не векторальных) кругов и еще какой-нибудь конопримы. Такая линейная секунда однако уже будете специальная, а потому должна рассматриваться, как особая система, и такая система будете родственна системе точек на плоскости, причем бесконечно удаленным точкам последней должны быть особым образом проективны круги первой. Также, если составим линейную терцию из какой-нибудь линейной секунды кругов и еще какой-нибудь конопримы, то такая система будете родственна системе точек в пространстве. Но все эти будут особые, специальные системы коноприм точек.
В «Ежегоднике геологии иРосам» в статье о «Кристаллизации в твердой среде» я уже описал опыт превращения многоводного гидрата сульфата магния, непосредственно образующаяся при испарении раствора в семиводный. При этом я отметил, что быстро растущие иголки и волокна семиводного гидрата с видимо одинаковою скоростью распространяются как в свободном растворе так и пронизывают кристаллы многоводного гидрата (а именно Mg S0 4 12 aq). Нужно полагать, что такое крайнее замедление хода явления в экстратонких слоях происходить под влиянием частичных капиллярных сил протяжения между стенками клинового пространства и его содержимым.
Понятно, что полная совокупность то есть квинта коноприм обладает высшею возможною то есть круговою симметрией. Симметрия кварт вполне определяется симметрией одной конопримы, потому что из нее она выводится вполне и однозначно. Поэтому в общем случае такая coвокупность имеет двойную ось симметрии и две перпендикулярные плоскости симметрии (ромбический вид симметрии на плоскости). В частном случае параболы остается только плоскость симметрии (гемиромбический вид симметрии). Совершение исключительною симметрию обладаете круг, и следовательно имеются линейные кварты, обладающие круговою симметрии. Отсюда заключаема., что если взять для определения линейной кварты произвольную коноприму и пятерную ось симметрии, из которой выводится пять равных, то получается кварта с круговою симметрией. Все содержащиеся в ней кривые во всяких положениях располагаются непрерывными кругами из равных элементов.
Если бы оказалось, что, выбрав одну линейную приму в одной диаметральной секунде и затем произвольно другую линейную приму в произвольной другой секунде и построив таким образом бесконечное множество гиперболоидов, мы получим, что вея совокупность таких гиперболоидов заключается в одной терции, находящейся в одной терции, находящейся в одной линейной кварте, то мы бы имели дело с образом, представляющим обобщение понятия о гиперболоиде; такой гиперболоид мы могли бы назвать гиперболоидом системы 4-ой ступени. Только что указанная в статье („Симметрия линейных совокупностей коноприм“) особая терция, имеющая симметрию круга, и есть такой обобщенный гиперболоид в системе коноприм. Так как в этой системе, трактующей совсем другую тему, было бы неуместно останавливаться на рассмотрении этого вопроса во всех подробностях, то специально для этого выделена настоящая заметка.
Как известно, французский математик Дюпен (Dupin) названием циклид отметил любопытные поверхности, которые можно определить как огибаемый совокупностью всех шаров, касательных к трем данным. Эти поверхности чрезвычайно разнообразны и выделяются по многим присущим им простым свойствам. изученным как самим автором, так и некоторыми другими математиками. В них имеются две особые оси, и если вращать около этих осей плоскость, то она рассечет поверхность в непрерывном ряде кругов, почему эту поверхность можно себе представить к как след движущегося по известному закону круга, во всех точках перпендикулярного ко всем кругам другой такой же системы. Все свойства циклид изложены в моем руководстве „Новая геометрия, как основа черчения" (101). Но тут, кроме того, выведена и особая циклида исключительно интересных свойств.
Решительно нет никаких указаний на то, чтобы с местами прежних горных работ прекратились и условия рудоносности, которые во всяком случае здесь имеются на лицо. Правда, нет оснований утверждать, что мы здесь непременно встретимся и с богатыми рудными залежами; но нужно сказать, что везде и в других местах, как бы благоприятны для этого не были наблюдаемый условия, рискованно делать положительный утверждения. Но в условиях, рисуемых составленною геологическою карточкою, вероятнее предположить благоприятные, чем неблагоприятные результаты. Совершенно особое положение занимает Николо-Подгорный рудник. С геологической точки зрения он является одним из интереснейших пунктов местности как по отчетливости в развитая пород, совершенной их исключительности в ряду других, так и по неожиданности и новизне самих пород и тех геологических условий, в которых они образовались.
Принимая еще во внимание неизмеримо большую простоту метода новой геометрии как метода умственного построения (без помощи каких либо вспомогательных слоями их подстроек, не нужно быть пророком, чтобы предвидеть, что современный геометрический анализ в преследовании своей задачи вытеснить анализ алгебраический, и роль последнего сведется к такому символическому выражению выводов геометрического анализа (что необходимо для замены по существу неточного осуществления геометрических построений в практических приложениях точными вычислениями и расчетами), которое дают возможность выражать результаты точными числами.
Коллинеацию с мнимою инволюцией мы можем охарактеризовать и двумя такими самоколлинеарными лучами, из которых один бесконечно удаленный в горизонтальной плоскости, а другой вертикальный. Хотя эти два луча и есть настоящее самоколлинеарные, и никоим образом не оси коллинеации с вещественной инволюцией, но как два особые луча, характеризующее симметрии системы мы могли бы их условно назвать осями мнимой коллинеации (условное сокращение коллинеации с мнимою инволюцией). Мы видим, что эти системы имеют центр, три проходящие чрез него двойные оси симметрии и три плоскости симметрии, проходящие попарно чрез две оси симметрии.
Сюда относятся с одной стороны вещество, полученное Anschutz u. Beckerhoff как Benzoylderivat des Amyiphenols и Benzoylderivat aus Tertiaramylphenol коего кристаллы описал Hartmann, а с другой полученное теми же химиками вещество Benzoyl, р. tertiara- mylpbenol, коего кристаллы описал Schwanke.
Поставленный вопрос столь элементарен, что, казалось бы, решение его должно заключаться в самых элементарных учебниках. Однако, этого не случилось, и в самом обстоятельном из имеющихся руководстве—Reye, Geometrie der Lage в главе 3 II тома, специально трактующей о перспективном положении линейных секунд, рассматриваются только условия, при которых две линейные примы (как обычно, рассматриваются только две системы — система точек и система плоскостей) находятся в перспективном положении. Поэтому, считаю полезным рассмотреть этот вопрос в общем виде.
Если нельзя однозначно определить бесконечную совокупность лучей по произвольно данным двум из них, то можно достичь этого по произвольно данным трем таковым. Общеизвестно из элементарных руководств что тремя произвольно данными, и притом непересекающимся друг с другом, прямыми можно вполне и однозначно определить некоторый однополый гиперболоид. Так как эта кривая поверхность 2-го порядка состоит не из одной, а из двух систем непересекающихся прямых, то понятно, что по трем прямым определяется непосредственно только одна из них, в состав которой входят три данные, а затем уже логически неизбежно принять и другую совокупность, которая в пространстве занимает положение, тождественное с первою системою то есть поверхность однополого гиперболоида.
Плоскость, проходящая чрез поляру а и точку . имеет своею нулевою точкою ту, в которой поляра пересекается с нулевою плоскостью точки А. Прямая, соединяющая эту точку В с точкою А, как поляр имеет полюсом точку на поляре а , и обе эти точки составляют сопряженную пару на этой поляре. Каждая плоскость, одновременно касательная к двум коносекундам такой примы, имеет своею полярою прямую, соединяющую две точки касания. Если же плоскость касательна одновременно больше чем к двум коносекундам, то она касательна ко всем коносекундам линейной примы, которые в таком случае имеют с нею и друг с другом одну общую точку касания. Нулевая система есть полярная относительно линейных прим коносекунд, как обыкновенная полярная система вытекает из единственной коносекунды.
Недавно мною была отмечена вероятность тождественности двух веществ, полученных Аншютцем и описанных одно как Benzoylderivat des Amylphenols и другое как Benzoylparatertiaramylphenol. После опубликования этой заметки я получил любезное письмо проф. Грота, справлявшегося об этом письменно у проф. Аншютца и получившего ответ о действительной тождественности этих двух веществ, несмотря на громадные различия в кристаллографических константах, приданных их кристаллам гг. Гартманном и Швантке. Теперь я нашел в своих старых записях указание на такое же соотношение двух веществ, которым приданы весьма различные химические формулы, но которые в кристаллографическом отношении оказываются весьма близкими.
Геометрическими константами, даже для триклинного кристалла, служат пять углов, величины которых легко определить непосредственным измерением на универсальном гониометре, и тогда не нужно никаких предварительных вычислений; по этим же пяти угловым величинам с помощью основной формулы определение любой грани, не только измеренной, но и всякой возможной, данной индексами символа, производится, как упомянуто, простыми сложениями и вычитаниями, но за исключением граней, находящихся в самом исходном поясе, то есть поясе граней а и b . И в учебнике ("Сокращенный курс кристаллографии") не приведено формулы для вычисления углов между гранями в этом поясе. Здесь я и приведу вывод этой замечательной и в высшей степени простой формулы.
Становится ясною полезность составленья таких подробных таблиц, которые конечно и будут составлены тогда, когда понадобится производить более точные вычисления плотностей сеток граней или плотностей ребер. Во всех случаях вообще, кроме триклинных кристаллов, такие вычисления будут отличаться значительною простотою, или точнее, вовсе не будут нужны, когда будут составлены таблицы. Точность может быть усилена и при употреблении графического метода, если за основу для расчетов мы возьмем не гномостереографическую (или граммастереографическую), а гномоническую (или линейную) проекции.
(Доложено 26 октября 1909 г.). Отдавая себе отчет о состоянии кристаллографии, в каком я ее застал 40 лет тому назад, и сравнивая его с теперешним, нахожу, что преобразование ее за этот период едва ли не глубже, чем какой-либо другой науки. Близость кристаллографии и химии представляется естественною: обе относятся к наукам промежуточного характера между науками точными, изучение которых целиком сводится к применению методов математики, и описательными, где вообще математически метод не находит применения. Если сравним роль математики в химии и в кристаллографии 40 лет тому назад и теперь, то конечно увидим, что последняя подверглась гораздо большему преобразованию.
Когда в Новой геометрии признавался дуализм, то предполагалось всего две геометрические системы: система точек и коррелятивная с нею система плоскостей. Настоящая заметка имеет своею целью показать особое значение такого частного случая, которое выражается следующею теоремою, если мы две такие коррелятивные системы, в которых сферопримами одной коррелятивны сферопримы другой, назовем системами родственными. Все решительно построения, а следовательно и теоремы, одной родственной системы переносятся и в другую. Кроме того, я имею в виду показать, что можно установить и такие системы, что для каждой ее линейной секунды можно воспроизвести родственную ей систему точек на плоскости.
В статье «Крайнее упрощение зональных вычислений и кристаллографических вычислений вообще» я отметил ту крайнюю простоту, которую получают вычисления сферических биполярных координат, если положить за основание формулу Миллера. Теперь я дополню выведенные тогда формулы такими, который относятся к вычислению котангенсов углов, образуемых с исходною какою угодно гранью пояса (см. заметку). Можно сделать вывод, что система зональных вычислений с биполярными координатами в своей особой простоте применима без применения последовательного, рекурсивного, хода вычисления, и прямо к граням с произвольными сложными индексами.
Здесь я имею в виду только то, что подразумевается собственно под словом «двойники», а не те закономерные срастания, который вызываются механическими сдвигами—случай, уже разобранный в прежних моих работах. Мне представляется, что опытами правильного нарастания разнородных кристаллов друг на друга и сделанными из них выводами Ф. Баркера вполне устанавливается физическая причина образования двойников. Самый общий вывод из принципа— возможность двойникового нарастания по какой угодно плоскости комплекса, какой бы сложный символ ни был ее выражением, для случаев двойниковых граней со сложным символом, в природе получает применение в исключительных обстоятельствах.
Ко мне обратился с письмом Вл. Мейер, в котором сообщил о графическом способе деления окружности на равные части простым приемом (см. статью). Конечно, теоретически это не правильно; нельзя даже вообще установить перспективности точек на окружности и на какой-либо прямой иначе, как приняв центр лучей перспективы на самой окружности. Способ г. Мейера не имеет теоретического основания и может быть лишь приближенным по отношению к полуокружности. Этот способ действительно может найти применение хотя бы на строительных работах, например, при постановке столбов и столбиков по окружности круга.
При решении задач о правильной установке кристаллов (как основе для кристаллохимического анализа) постоянно приходится прибегать к преобразованию символов, причем проверка этого решения связана со вторым и дальнейшими преобразованиями. Возникает задача выразить окончательные символы в исходных. Вместо известной формулы преобразования мы на практике пользуемся сокращенным выражением в виде детерминанта (см. статью)
Строение таких частей земной коры, как современного Уральского кряжа, есть нечто до такой степени сложное, что никакое человеческое воображение не в состоянии обнять его во всех деталях, и всякая попытка в этом направлении сводится к схеме, более или менее детализированной. Но специально грандиозные рудничные области скрыли в себе не только эту сложность строения, но и столько последующих изменений и превращений, что даже и схематическое представление совершавшихся там процессов натыкается на едва преодолимые трудности. Достаточно указать на напряженную деятельность метаморфизации и выветривания, чтобы отметить эти их особенности. Результаты исследования смотрите в статье.
Так как вообще для определения комплекса необходимо и достаточно четырех граней, то ясно, что тремя данными точками, вершины какого-бы трехугольника их полюсы ни составляли, дальнейшее развитие комплекса невозможно, и совершенно необходимо знать положение еще какой-нибудь четвертой грани. В общем, выбор таковых зависит от нашего желания, и я рассмотрю случай, когда данные четыре точки составляют вершины двух смежных трехугольников, имеющих общую сторону.
Была установлена сеть для гипогексагонального типа и показано, что числовой закон развития форм и для этой сети существенно тот же, хотя теперь грани выражаются символами не из трех, а из четырех чисел; из этих четырех всегда можно выбрать три, в том числе необходимо и первое число, которые будут совершенно тождественны с числами первой сети. Но даже, если мы не будем делать такого подбора, а ограничимся тремя числами, из которых одно, стоящее на первом месте, а два другие выберем по произвольному условно (то есть второе с третьим, или второе с четвертым, или наконец третье с четвертым), то закон, о котором здесь идет речь, все-таки останется справедлив. Особое значение имеет распределение четных и нечетных чисел. Этот закон состоит в том, что из семи символов, относящихся к какому-угодно элементарному трехугольнику сети, один непременно заключает три (то есть все), три заключают два и три заключают одно нечетное число; все остальные числа символов четные.
Нет ничего естественнее, как обобщить выводы предыдущей заметки, относящейся к трехзначным чпслам или трехугольной геометрической сети на числа более высокой значности и прежде всего на числа четырехзначные, причем получается сеть тетраэдрическая.Такая сеть чисел нашла свое применение для химического тетраэдра в петрографии. Вдумываясь в математические основания построения трехугольной сети, мы найдем, что основные теоремы остаются справедливыми и для этой сети при соответственном усложнении самих построений.Это усложнение состоит в том, что полное число точек, связанных с одним элементарным тетраэдром (точнее сфеноидом) какого-либо периода уже не 7(3 + 3 + 1), а 15: четыре при вершинах, шесть средних точек ребер, четыре средних точек граней и одна средняя точка самого тетраэдра.
В этой статье я в высшей степени суживаю свою задачу и даже не упоминаю о разнообразных геометрических системах и их сочетаниях, которые дают возможность ее разрешить, останавливаюсь исключительно на рассмотрении одной единственной системы 4-ой ступени на плоскости, которая прямее всего отвечает сущности дела. Эта система есть непосредственное pacширение системы параллельных векторов, а именно расширено в том отношении, что векторы, как элементы системы, могут быть взяты и не параллельными. Ясно, что через это условие система возрастает на ступень, то есть становится именно системою 4-ой ступени (соответственно геометрии пространства 4-х измерений).
Кристаллы этого минерала из музея Горного Института были уже мною систематически описаны в специальной статье. В последнее время музей прибыли два новые интересные кристаллика этого минерала. Больше всего бросается в глаза необыкновенная их тонкость, доходящая до 0,1 м.м. при плоскостном размере, большем, чем квадр. сантиметр. На таких крайних разностях особенно поучительно ставить вопрос о существовании зависимости между формою и комбинацией.
А. Э. Купффер, раздробляя породу из San Zenito в Калифорнии, в изобили и содержащую почти черные и довольно крупные кристаллы нептунита, выделил между прочим превосходно образованный кристалл довольно густого синего цвета, развитый в комбинациях типичного ромбического кристалла с четырьмя весьма острыми пирамидами (см. статью).
Воспользовавшись имевшимися у меня полушариями калистых квасцов и соответственными углублениями в крупном кристалле я пожелал испытать, как при той же кристаллизации влияют примеси в растворе, не оказывающие разлагающего действия на вещество, заключающееся в растворе. Как вероятный вывод—образование граней, хотя и плохого достоинства, с более сложными символами на сферических поверхностях, но столь малой величины, что вообще рефлексы не уловимыми, и начинают становиться уловимыми только некоторые из них, благодаря примесям, улучшающим кристаллизацию.
Вициналоидами или вицинальными поверхностями называются те поверхности, который, составляя истинные грани кристаллов и весьма приближаясь к плоскостям, на самом деле не есть плоскости, а весьма сложные и разнообразные кривые поверхности. Но если вообще при росте кристалла скучивание, то есть непараллельное положение частиц друг на друга происходит хаотически то есть одинаково во всех направлениях (полная нестройность скучивания), то нельзя отрицать возможности существования причин, нарушающих эту полную нестройность и производящих неполную нестройность.
В основе современного представления о законности в образовании граней лежит положение о согласии порядка важности граней (проявляющейся как в частности их появления, так и в их величине) с порядком их ретикулярной плотности. Это положено выведено на опыте как закон статистического характера то есть не как закон точный, проявлявшийся всегда и безусловно, а как законность, проявляющаяся в значительном болышинстве случаев. Исключения, который мы вообще находим на опыте, отнюдь не исключают мысли об абсолютном значении порядка плотности граней; но они указывают, что на образование граней, кроме этого абсолютного фактора, влияют и другие, значение которых еще не удается выразить численным способом; и эти факторы могут быть довольно многочисленны, так как на степень образования тех или других граней влияют и разные внешние, отчасти трудно уловимые условия.
Отмечу не только важное для кристаллохимическаго анализа разнообразие, усматриваемое из этих таблиц, но и важное значение того промежуточного минимума, который замечен для главных чисел. Нужно заметить, что в изотропных комплексах различие между тетрагоналоидными и тригоналоидными пропадает и вообще кристаллы могли бы быть отнесены к псевдокубическим. Но если присоединить к ним еще настоящие кубические кристаллы, то мы именно для этого промежутка получили бы особое скопление кристаллов, что для анализа явилось бы фактором неблагоприятным, и вот оказывается, что как раз в этом промежутке естественно получается некоторое разрежение в распределении.
Амфибол. Пироксен. Эгирин. Энстатит. Гиперстен. Бабингтонит. Лиеврит (ильваит). Берилл. Фенакит. Трустит. Виллемит. Сфен (титанит). Паризит. Золото. Церуссит. Арагонит. Кварц. Оливин. Нептунит. Киноварь. Целестин. Барит. Подробное описание кристаллов см. в статье.
В записках Г. И. на стр. 259 по поводу составления таблиц для кристаллохимического анализа уже были приведены некоторые статистические данные по этому предмету, хотя эти данные и основывались на меньшем материале, чем имеется сейчас в моем распоряжении. Сейчас сделан крупный шаг по составлению этих таблиц, а именно составлено 3730 диаграмм по материалу, заключающемуся в 42 томах Zeiteschrift für Krystallographie как в его оригинальных статьях, так и в рефератах (несколько сот этих диаграмм уже проверены сотрудниками и таким образом для них установки, а следовательно и место в таблицах, закреплено).
В настоящее время кристаллография широко пользуется графическими приемами для решения своих задач. В числе целей, ставимых при развитии графических операций, преследуется также и увеличение точности. Что касается конструкции нового прибора, главным образом отметим гораздо большие размеры прибора, коего черное полушарие, как основная рабочая часть прибора имеет диаметр аршин с небольшим. Второй прибор есть универсальный прикасательный гониометр с тремя осями. Он служит для обыкновенного измерения по универсальному методу столь крупных кристаллов, что они уже не могут быть укреплены на кристаллоносце обыкновенных гониометров. Третий прибор предназначен для облегчения процесса кристаллизации. Принцип работы состоит в ритмическом нагревании и охлаждении сосуда с раствором, в котором происходит кристаллизация.
Мы теперь знаем, что геометрические системы могутъ быть весьма многочисленны и разнообразны, так как за элементы систем могутъ быть принимаемы весьма разнообразные геометрические образы. Для установления всякой такой системы необходимо определить полную совокупность ее элементов и привести доказательство, что из двух произвольно взятых из нее элементов можно однозначно составить такую их безконечную совокупность, чтобы, заменяя в ней два взятых двумя произвольными другими элементами, входящими в ее состав, мы и из них также однозначно вывели бы ту же самую совокупность, которая и составит линейную приму системы.
Автор делает вывод о существовании безграничного множества геометрических систем одной и той же ступени, выводимых из каждой одной данной. Так как вывод о возможности воспроизведения из всякой данной системы другой, парной, никакими условиями не ограничивается и обусловливается возможностью тех же позиционных построений, что и для всех систем, то ясно, что он одинаково применим и к парным системам. Другими словами, мы можем воспроизвести новую, парную, систему не только из вообще каких либо геометрических систем, но совершенно на тех же основаниях и из каждой парной системы.
В числе замечательных образцов калистого полевого шпата в музее Горного Института имеется весьма крупный четверник адуляра из ст. Готтарда (Fibia), воспроизведенный на фиг. 1 прилагаемой таблицы (размером до двух дециметров в длину].
Автор наткнулся на ясные признаки (фиг. 3) образования полосок в микроклине в шлифе с берегов Белого моря (№8 то есть с острова Горелого в Керетском рейде). Я счел долгом представить такое изображение, совершенно отчетливое при увеличении в 120 раз.
Так как плоскость Р есть лишь частный случай кривой поверхности 2-го порядка (коносекунды) К, то по таковой и еще какой-либо коносекунде, данной совершенно произвольно, вполне однозначно определяется их линейная прима). Таковою будет совокупность, для определения которой эти данные являются достаточными и могут быть заменены любыми двумя коносекундами той же совокупности.
Устанавливается коррелятивность не только между системою точек и системою плоскостей, но и между преобразованиями этих систем. Именно в силу коррелятивности эта теорема имеет дуальное значение, так что в ее формулировке обыкновенная решетка может быть заменена полярною и обратно. Автор считает необходимым опубликование этой теоремы в виду того, что в кристаллографии для определения символа комплекса мы именно производим операцию сдвига полярной решетки (пользуясь гномостеографической проекцией, а сущность изменения, которое при этом претерпевает обыкновенная решетка, оставалась неизвестною.
Начало опытам этого рода мною было сделано еще в 1901 году, когда я на шлифах из каменной соли и квасцов вырезывал кружки или же небольшие кольца, разделявшие внутреннюю выпуклую от внешней вогнутой сферической линии; в это кольцеобразное пространство я пускал каплю ненасыщенного раствора, закрывал покровным стеклом, которое заклеивал канадским бальзамом.
In the article “Precise imagery of space points on a plane,” the problem of such an image in three different elements is solved: vectorial and ordinary circles, and in parallel vectors. The practical application of images in parallel vectors of a system of mines is also given there. I will now show an essential application of the theory to the representation by vectorial circles of the spatial lattices of each structurally studied crystal.
We know that from two given points e with e' and a conical section K on the plane, we can reproduce a curved surface of the 2nd order, if from these points we take one e as the center of the second of the rays, and the second e' as the center of the second of the planes and bring these two seconds into a correlative relation so that the ray ea (a point on the conic section plane) will be considered correlative to the plane e'A, where A is the polar of the point a with respect to the conic section K. It is known that in such a surface a set of rays and their correlative planes.
No matter how elegant the construction of conic sections using Pascal's theorem is, it does not have sufficient generality, since it is applicable only for five real points of a curve, and in practical application it is more difficult than some other methods.
I consider it useful to note one property of stereographic projection, which it does not open up new ways for solving problems, still can contribute to greater accuracy in solving some of them.
Among the deviations from the laws characteristic of real (ideal), that is, completely crystalline-homogeneous individuals, small deviations are often noticed both in the position of the edges and in general in the intergrowth of subindividuals.
By this general name we mean all those curves and surfaces that are represented in the geometry of harmonic segments. Indeed, in this geometry, every midpoint of a segment uniquely corresponds to both end points of this segment; consequently, whatever curve is represented in this geometry as a set of end points of segments, its points are always grouped into pairs that are harmonic with respect to the main orthogonal sphere O, and the end points are located on the radius of this sphere.
One of these systems or spherical geometries can be considered generally known, although I am not aware that anyone has categorically noted its complete parallelism or equality with the geometry of points on the plane. This geometry on the sphere introduces one limiting condition that it deals only with points on the sphere. Therefore, although its points occupy all three dimensions of space, it is essentially the same geometry of two dimensions (that is, the second stage), as is the corresponding geometry on a plane, in which the limitation is to consider only points on one plane. Despite a long line of first-class researchers of this mineral, starting with Brooke, who studied this mineral in 1824, its crystallization, actually the correct installation of its crystals, has up to now encountered significant difficulties. I can now make use for this purpose of an excellent specimen from Alston Moor, in the Museum of the Mining Institute, from which hundreds of crystals suitable for this purpose could be extracted. I extracted 15 crystals and subjected them to continuous measurement on a universal goniometer.
Despite a long line of first-class researchers of this mineral, starting with Brooke, who studied this mineral in 1824, its crystallization, actually the correct installation of its crystals, has hitherto encountered significant difficulties. I can now make use for this purpose of an excellent specimen from Alston Moor, in the Museum of the Mining Institute, from which hundreds of crystals suitable for this purpose could be extracted. I extracted 15 crystals and subjected them to continuous measurement on a universal goniometer.
During the radical revision and putting in order of the minerals of the Museum of the Mining Institute, which is now being carried out by A.E. Kupffer, I got an opportunity to get acquainted in detail with the figures mentioned in the title, which are sometimes developed with great clarity on a fairly large number of specimens from various deposits of this interesting mineral, so abundantly represented in the museum.
Natural crystals are the most difficult object for the method of crystal-chemical analysis, and I must admit that my attempt to give the correct setting to all minerals turned out to be imperfect in many points. But it was precisely this imperfection that prompted the further development of criteria for correct installation, and pointed to the need to reconsider and individually study the crystals of many minerals.
Having specially studied pyroxenes, I came across, among other things, intergrown crystals resembling twin intergrowths. Let me present here the results of one such study, based on the numerical data of which the attached diagram was compiled.
The criteria used so far contained the main, fundamental drawback, which consisted in calculating the grid density of each given complex as an isotropic complex. Although the criterion with this drawback was used quite consciously, for the sake of simplicity, in view of the complexity of the operation of calculating the density of the grids, but, of course, there was always a desire to eliminate it, if only a way could be found to determine this density quite correctly, without resorting to simplifying, but still an erroneous assumption.
I will provide the additional theorems on linear collections of the geometry of vectorial spheres and quadratic collections of ordinary spheres. For a detailed description, as well as a comparison of megaspheres of vectorial and ordinary spheres and an overview of the system of parallel vectors, see the article.
If you have collineations of two systems, then both systems are equal, because both are in the position of involution, and any point a of the system is collinear to the same point a of the collinear system, regardless of which of these two systems the given point belongs to. But now let’s replace one of the systems with a system similar to it, and take the combined centers of collineation of both systems as the similarity center E. It is clear that under this condition the systems can no longer be brought into the position of involution, and therefore the construction of homologous (collinear) points becomes more complicated, and in any case, for each given point in the collection we will obtain two different homologous points, depending on which of the systems this point applies.
We outline the possibility of a path for the derivation of an indefinite number of new geometric systems. The main feature of the problems of New Geometry is the indefinite multiplicity in the application of theorems, in contrast to the individuality of conditions in the formulation of problems with which ancient and analytical geometry deals. Problems of a metric nature, for this reason, are not at all within the scope of this discipline; but it would be inaccurate to say that it includes only problems solved by positional constructions (for which reason New Geometry is more often called positional or projective geometry).
Mining engineer Natsvalov kindly delivered several samples of sublimate crusts during firing of kupfermatte at the Kedabek plant. The specimen was of interest because of its beautifully formed, although mostly in the form of skeletons and growth figures, octahedrons with small blunt cube faces.
This difference is manifested in the movement of the dissolved substance in the layer of solution separating the different faces of the crystal of the substance from which the solution is obtained. If there were any doubt about the similarity in this regard of the properties of a natural edge and, for example, a plane of cleavage parallel to it, then the mentioned technique provides a means of resolving it.
First of all, interest was aroused by the huge Bavinsky twin of orthoclase from the vicinity of Kyakhta, depicted in Fig. 1, and not only by the clarity of its formation, but also by the beautiful almandive crystals included in it. A special optical study carried out by V.I. Sokolov showed that the orthoclase substance is germinated by plapoclase around No. 5, representing well-formed polysynthetic twins according to the albite law, and one individual of the twin is concordant with the orthoclase substance.
Whoever sought to give himself a clear account of the chemical relations of rocks had to see with amazing clarity all the imperfections of our information on this issue. We have to admit that real, exact science has hardly yet touched upon this important issue, and the most primitive empiricism reigns here. A large number of types of rocks are exhibited, receiving numerous names, but there is not even a generally accepted criterion for distinguishing one type, or, more precisely, a type of rock from another.
If there is a parallelism between the theorems of geometry of the points in space and the circles on the plane, then the idea of the possibility of accurately representing points (and, consequently, images obtained from points of other images) of space by circles on the plane naturally arises. The purpose of this article is to develop the most perfect and simple way of depicting such an image. However, in addition this article introduces two new geometric systems that are also used for the same purpose, namely, the system of vectorial circles and the system of vectorial segments or simply vectors.
The formula in question here is a logical consequence of two already known formulas, which were given in full by the author of the doctrine of symmetry, namely in the part that was published under the title “Symmetry of Finite Figures.” The formula, applicable to any group of symmetry axes (type of alignment symmetry), but of course not applicable to one axis taken separately, makes it possible to directly derive the value of symmetry from the number of symmetry axes. From it, by the way, it follows that the value of the symmetry of the combination is certainly even (which is understandable, in view of the obligatory presence of double axes of symmetry in the aggregates), and therefore the value of the symmetry of those types where, in addition to the axes of symmetry, the elements of direct symmetry are also included, is certainly divided by four.
A.E. Kupfer brought from a well-known mercury deposit pieces of light burnt (and therefore reddened) sandstone, covered with thin crystalline crusts. The crystals are thin-columnar, completely colorless, with a diamond luster and in general look very similar to calomel. However, the on-site analysis, having stated the presence of chlorine and mercury, gave an insufficient amount of chlorine, which is why it was assumed that these were not calomel, but crystals of some other mercury chloride. In these cases, the decisive methods are the usual methods of crystal-chemical analysis reduced to measuring the crystals and their correct installation
Although at present there is hardly any disagreement between specialists on the issue indicated in the title, it still seems impossible to point to direct experience that imediately resolves this issue beyond any doubt. Concerned about this form of experience, I focused on such a simple and convincing one that I can consider the goal achieved. According to the idea that was developed in my article “Observations and Experiments on Crystallogenesis,” solubility in relation to each face of a crystalline substance is directly proportional to its network density, and therefore, the more complex the symbol of the observed face (with the correct installation of the crystal), the smaller it is, and for irrational faces it is even equal to zero.
