Том 48 Вып. 3

Алгоритм среднего арифметико-геометрического из двух элементов, составляющий пример приближения многозначной трансцендентной функции одного переменного посредством алгебраической, введен в рассмотрение К. Ф. Гауссом.

Среднее арифметико-геометрическое M(a,b) является общим пределом последовательностей, определяемых рекурентными соотношениями. Функция M (а, b) — однородная бесконечно многозначная функция своих аргументов. Свойства функции M (а, b) были указаны К. Ф. Гауссом. Однако результаты его исследований, опубликованные в посмертных изданиях, представляют лишь отдельные заметки, не связанные единством изложения, и по ним трудно судить о форме законченного изложения предмета. Последнее вызвало многочисленные комментарии, чтобы воссоздать связное изложение свойств среднего арифметико­геометрического, и ряд исследований по улучшению или видоизменению отдельных деталей подобной реконструкции. Свойства функции M (а, Ь) вытекают непосредственно из свойств алгоритма, ее определяющего. Между тем предложенные изложения свойств среднего арифметико-геометрического выходят за рамки определяющего алгоритма и привлекают соображения, излишние для достижения поставленной задачи...

Пусть S(k), k=1, 2, . . . — класс функций, регулярных и однолистных в круге │z│< 1. Sα(k) - подкласс функций S(k). Этот класс функций не пуст при любом αk, 0

Дифференциальными уравнениями параболического типа описываются многие разнообразные задачи из области физики и техники. Их решение, представленное в виде классического разложения Фурье, пригодно только при больших и средних значениях времени. Между тем ряд конкретных технических задач требует рассмотрения кратковременных процессов. Уже имеются некоторые частные результаты в этом направлении.

Рассмотрим функцию F(х, у), где у = у (х), удовлетворяющую следующим условиям… Теорема имеет приложение в теории нелинейных интегральных уравнений, при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений и при применении приближенных расчетов.

Можно показать, что известный алгоритм Ньютона aᵢ = aᵢ* − ∆, служащий для уточнения корня многочлена, является представителем родственной группы алгоритмов. ...

Проблема приближенных квадратур является одной из наиболее изу­ченных в анализе. Возникшая из потребностей вычислений, связанных с решением разнообразных прикладных задач, она получила широчайшее развитие и стала предметом многочисленных исследований. Работы в этой области исчерпывающи, однако изучение внешнего мира ставит новые задачи там, где, казалось бы, все известно. Примером может служить формула приближенной квадратуры для сложной функции F (y₁, . . . , yₙ). ...

Не существует оптимального (в смысле среднеквадратичной погрешности) интервала Tₒпт опт интерполяции по одной, двум, трем и т. д. равностоящим на Т ординатам "чистого" сигнала х (t). Чем меньше Т, тем меньше средний квадрат погрешности. Если к сигналу добавлена помеха n (t), то для одноточечной (ступенчатой) интерполяции Топт также не существует ни при каких сочетаниях х (t) и n(t). Однако уже при двухточечной (линейной) интерполяции интервал Tопт, дающий минимум среднеквадратичной погрешности, существует, и линейная интерполяция дискретных измерений может быть точнее, чем непрерывные измерения. При этом линейная упреждающая экстраполяция не повышает точности.

Интеграторы находят широкое применение во многих современных устройствах автоматики и счетно-решающей техники. Они используются, в частности, для определения координат местоположения некоторого объекта, если известна скорость его движения. Нередко характерным входным сигналом динамической системы, или одной из его составляющих, является случайный процесс. Тогда на выходе действует также случайный процесс, параметры которого надо определить. К постановке такой задачи приходим, в частности, при определении случайной составляющей ошибки на выходе интегрирующего привода.

При обработке опытных данных существенное значение имеет проблема выявления и исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений. Этому вопросу посвящены работы многих авторов, предлагающих различные критерии (статистики) для оценки резко отклоняющихся результатов. Однако, как отмечают Э. Гумбель и Ю. В. Линник, большинство авторов ограничиваются случаем нормального распределения результатов наблюдений.

Современное развитие механики горных пород выдвинуло важную задачу изучения влияния скорости деформации на свойства пород. Исследование процессов разрушения пород при динамических нагрузках имеет большое значение для совершенствования технологии добычи полезных ископаемых. Механические свойства при динамическом нагружении важно знать при конструировании горных машин, бурении скважин на больших скоростях, разрушении пород взрывом.

Определение наибольших динамических усилий в подъемных канатах связано с исследованием колебательных процессов в нити переменной длины с грузом на конце. Дифференциальные уравнения продольных колебаний упругой весомой нити впервые выведены и решались Н. П. Нероновым. Эти уравнения и их точное решение, полученное методом характеристик, сложны и неудобны для практического применения. Однако доведенные до числового примера, они могут быть использованы для сравнения приближенных методов с точным решением задачи.

Задача о радиальных колебаниях полого бесконечного цилиндра, на внутреннюю поверхность которого действует переменное давление f(t), сводится к решению дифференциального уравнения...

Рассмотривается задача вычисления собственных частот осесимметричных колебаний тонкой полусферы радиуса R с массой М, жестко закрепленной по экватору.

Вычисление интеграла от квадрата функции Лежандра. ...

Рассматривается движение системы, состоящей из двух твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной точки и имеющих общую геометрическую ось собственных вращений. Нами изучается безотрывное обкатывание первого тела системы по внутренней конической поверхности неподвижного тела (чаши). Такое движение соответствует рабочему и холостому режиму дробилки. Вследствие трудностей, возникающих при исследовании движения системы твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной точки, при постановке задачи приходится вводить ряд ограничений. Для предельного случая составлены дифференциальные уравнения движения каждого тела системы в отдельности и системы в целом.

Во многих случаях, особенно для систем высокого порядка, когда решения дифференциальных уравнений и алгебраические критерии устойчивости становятся очень громоздкими, удобнее и нагляднее оказывается частотное исследование, особенно в тех случаях, когда для некоторых звеньев автоматической системы, легко поддающихся макетированию, бывает легче экспериментально снять частотные характеристики, чем составлять дифференциальные уравнения динамики.

Рассмотрим динамическое упругое поле при взрыве удлиненного заряда, параллельного одной из обнаженных поверхностей уступа горного массива. Математически такое воздействие достаточно точно может быть описано прямыми и отраженными от обнаженных поверхностей возмущениями, вызываемыми движущимся со скоростью детонации источником типа центра расширения.

Рассматривается нестационарный осесимметричный незакрученный поток несжимаемой идеальной жидкости при отсутствии массовых сил. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, φ, z), начало которой совпадает с центром круглого выходного отверстия весьма большого диаметра, ось z — с осью симметрии потока, положение плоскости φ = 0 безразлично в связи с осевой симметрией.

При исследовании некоторых задач обтекания тел сверхзвуковым потоком газа систему уравнений гидромеханики удобнее записывать не в декартовых, а в естественных координатах. Аналогичные координаты были использованы при решении задач обтекания плоских и осесимметричных тел гиперзвуковым потоком газа методом "пограничного слоя".

Рассмотрим двухкомпонентную среду, например, смесь газа или жидкости и взвешенных частиц. Взаимодействие между ними будем учитывать по линейному или квадратичному закону. Движение жидкости предполагаем одноразмерным (вертикальным), установившимся и ламинарным. Поток простирается достаточно широко в горизонтальных направлениях, так что никакие вертикальные стенки не рассматриваются. Особое значение имеет выбор уравнений сплошности. В работах автора сделана попытка использования уравнений неразрывности, специально выведенных для рассматриваемого случая, однако трудности распространения их на трехмерное пространство заставили автора перейти на общепринятые уравнения неразрывности.

Рассмотрим вопрос планирования добычи руды заданного состава на примере Кингисеппского фосфоритового рудника. Весь комплекс открытых горных разработок Кингисеппского фосфоритового месторождения отличается сложностью взаимосвязей между техническими, горно-геологическими и экономическими факторами.