Относящийся сюда вопрос сводится, как известно в математической физике, к определению такой функции ϕ (х, у, t),зависящей от точки (х, у) и от времени t, которая удовлетворяет следующим условиям (см. статью). Совершенно ясно, как это и замечает М. Vergueв своем интересном мемуаре, что теорема разложения имеет место и для волн, происходящих под дейcтвиeм импульсивных сил, приложенных на поверхности жидкости (ondes par impulsion),—разница заключается только в том, что sin заменяется cos в формуле.
Для решения вопроса о том, будет ли остаток R n ряда Тейлора стремиться к нулю при lim п =∞, стараются, как известно, представить остаток в различных видах, ибо часто для этого один вид является более удобным другого, в чем можно убедиться напр. хотя бы на разложении log (1 + x). Этот метод может быть очевидно обобщен и для нахождения различных форм остатка интерполяционных формул.
В виду простоты аналитических средств для доказательств и отсутствия необходимости изучать большую литературу вопроса, задача о нахождении различных форм остатка интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона могла бы представить особый интерес для лиц впервые приступающих к математическим исследованиям; этим лицам она и предлагается поэтому в качестве темы для самостоятельной работы, не носящей компилятивного характера.
Для индивидуального определения коэффиентов полученного уравнения (см. статью) полученное выражение тождественно с тем, которое получается примененим метода Kitz’a, а потому, в силу результата нашей выше цитированной статьи, можем утверждать, что процесс Boussinesq'a в рассматриваемом частность случай дает точное решение задачи. В общем случай вопрос остается открытым, хотя некоторые соображения заставляют предполагать, что рассмотренный выше частный случай не будет единственным случаем „сходимости" процесса Boussinesq’a.
В различных математических исследованиях, связанных с вопросом о существовании минимума весьма часто бывает полезно, как мы постараемся ниже показать, приложение того основного соотношения в теории тригонометрических рядов, которое было названо проф. В. А. Стекловым уравнением замкнутоности и обобщено им для многих других систем ортогональных функций, встречающихся в анализе и математической физике.
Т. J. Stieltjes был одним из первых математиков, поставивших с весьма общей точки зрения вопрос о сходимости формул, так называемых, механических квадратур. В последнее время, весьма простое и элегантное доказательство результата Stieltjes’a для случая непрерывных функций было дано Я. В. Успенским, который пользуется при этом основной теоремой Weierstrass’a относительно приближения непрерывных функций с помощью полиномов. Однако в виду важности вопроса и некоторых следствий отсюда вытекающих, представляется небезынтересным по нашему мнению трактовать вопрос без помощи вышеупомянутой теоремы Weierstrass’a и без предварительного изучения, довольно сложного, что и составит предмет первого § настоящей работы.
Вопрос о существовании т. н. „фундаментальных функций" для дифференциальных уравнений высших порядков был предметом исследования целого ряда работ, но без сомнения возможна и дальнейшая его обработка в смысле применения различных методов к его решению. Настоящая статья представляет попытку обобщения метода американского геометра Max Mason’a, изложенного им для дифференциальных уравнений 2-го порядка, на случай дифференциальных уравнений 4-го порядка, к которым приводится, как известно, вопрос о колебаниях упругого неоднородного стержня. Колгановка 6-8 августа 1915 г.
К числу интегрируемых относятся также функции, разрывы непрерывности которых могутъ быть заключены в интервалы, причем сумма протяжения последних, есть произвольно малая величина; в самом деле, заключая точки разрыва в интервалы, разность (b— а) можем представить в виде суммы двух частей из которых первая относится к интервалами, лежащими в свою очередь внутри интервалов, заключающих точки разрыва (см. статью).Достаточно показать, что разность (b — а) может быть сделана сколь угодно малой лишь при одном, вполне определенном законе деления, то можно взять такие точки дедения, который совпадут с оконечностями интервалов, заключающих разрывы непрерывности функции f и тогда разность (b — а) действительно будет сколь угодно мала. Отсюда заключаем, что к числу интегрируемых относятся между прочими функции, обладающая конечными числом разрывов непрерывности, а также функции, точки разрыва непрерывности которых, будучи в безконечном числе, обладают конечными числом так называемых предельных точек.
Приведено весьма простое доказательство проф. В. А. Стеклова, выражаемой формулой , но все же существенно отличается от различных доказательств той же теоремы, данных проф. В. А. Стекловым и, приближается скорее по идей к доказательству проф. Hurwitz’a (основанному на методе ариеметических средних Cesaro-Fejer’a), имея за собой, мне кажется, преимущество большей простоты, т. к. оно базируется на применении теоремы о почленном интегрировании тригонометрических рядов, которая сама представляет собою частный случай теоремы замкнутости.
Решение одной из основных задач математической физики, а именно задача Дирихле для сферы, приводится, как известно, к вопросу о разложении т. н. „произвольной" функции двух углов в ряд, расположенный по сферическим функциям Лапласа. Доказана возможность разложения для функции, обладающей двумя первыми производными и рассуждением аналогичным таковому же, приведенному в нашей статье: „К теории тригонометрических рядов", можно установить возможность разложения для функции, удовлетворяющей условию Lipchitz’a.
При разложении „произвольных" функций в ряды по способу наименьших квадратов коэффициенты ряда, как известно, образуются по вполне определенному закону, а именно закону образования коэффициента есть тот, который имел бы место в случае равномерной сходимости ряда, т. е. другими словами коэффициенты приобретают вид так называемых коэффициентов Fourier и ряд будет так наз. рядом Fourier разлагаемой функций; в частном случае разложения по тригонометрическим функциям вида (см. статью).
В настоящем кратком очерке, посвященном преимущественно учено-педагогической деятельности покойного профессора, мне бы хотелось прежде всего поделиться с читателями, воспоминаниями о том незабвенном, неизгладимом впечатлении, которое произвели на меня, как вероятно и почти на всех его бывших слушателей, в свое время его лекции.
