Усилия в точке набегания каната на барабан. Для рассмотрения схемы подъема груза вводим обозначения: ...
Впервые условие неразрывности (сплошности) было дано для общего случая в аналитической форме Эйлером, а затем позднее в иной форме — Лагранжей. В настоящей статье движение среды описывается с помощью переменных Эйлера, которые связываются рядами Тейлора с переменными Лагранжа. Первая часть работы относится к однокомпонентной жидкости, вторая — к двухкомпонентной.
Рассмотрим плоское безвихревое движение безграничной жидкости в присутствии неподвижного цилиндрического твердого тела. Жидкость предполагается идеальной и несжимаемой, а скорость ее на бесконечно большом расстоянии от твердого тела — постоянной по величине и направлению. Ограничимся случаем непрерывного установившегося движения.
Теория шаровой мельницы в основном была разработана Дэвисом еще в первой четверти настоящего столетия после экспериментального изучения работы шаровой мельницы. Значительно позднее в нее были внесены исправления и дополнения. Тогда же возник вопрос об учете фактора подталкивания нижележащими шарами тех шаров, которые уже отделились от стенки барабана и совершают в нем свое относительное движение, образуя цепочку шаров, распадающуюся в вершине. В силу допущенной погрешности исследователи не дали правильного решения этого вопроса. Погрешность была устранена и установлена истинная форма цепочки шаров несколько позже. Однако эта погрешность встречается и в новой зарубежной литературе, поэтому целесообразно еще раз вернуться к этому вопросу и изложить кинематику и динамику шаровой мельницы с точки зрения теории цепочек шаров (уточненная теория шаровой мельницы) и дать критическую оценку последней.
Среди работ профессора М. И. Акимова на первом месте по своему значению стоит его диссертация «О функциях Бесселя многих переменных и их приложениях в механике» [1] .
Ограничимся нахождением равнодействующей Т внутренних сил в ннжнем сечении каната, придавая формуле для определения нормального растягивающего напряжения о в упомянутом сечении значение только приближенной характеристики соответствующего напряженного состояния.
Т ахограмм а подъема предполагается Р. Ф. Ильиным трапецеидальной. Вследствие сложности точного решения им использован приближенный метод для малых высот подъема. Задано абсолютное удлинение вертикальных частей АХВ и А2В2 каната (Аь А2 — произвольно взятые точки каната, В, В2 — точки подвеса грузов) в следующей форме ...
Цель статьи — изучение обтекания плоским потенциальным потоком жидкости некоторых алгебраических кривых, а также нахождение профилей аэропланного типа с точкой возврата и указание способа их построения.
Применение решения Пуассона. Рассматриваемая проблема была предметом изучения многих авторов, но, несмотря на достигнутые результаты, еще довольно далека от своего полного разрешения, особенно с точки зрения эффективности применяемых методов. Между тем для практических приложений эта сторона дела весьма существенна. Поэтому следует признать весьма актуальной работу В. А. Староверовой, посвященную указанному вопросу.
Предметом исследования настоящей статьи является механическая сторона работы шаровой мельницы. В нашу задачу не входит рассмотрение вопросов технологического характера. С этой целью мы займемся анализом существующих теорий шаровой мельницы, начиная с общепринятой, развиваемой в работах проф. Л. Б. Левенсона и Девиса, которая получила широкое распространение, дав ряд оправданных практикой приближенных рабочих формул. Переходим к анализу теории шаровой мельницы по существу. При этом ограничимся рассмотрением цилиндрической шаровой мельницы, состоящей из барабана с горизонтальной осью вращения О (рис. 1) и загруженной смесью шаров и руды. При надлежащей угловой скорости вращения барабана, которая предполагается постоянной, и соответствующей величине загрузки мельницы по истечению некоторого времени устанавливается следующий режим. Шары, вращавшиеся первоначально вместе с барабаном, как одно целое, в некоторый момент начинают свое движение относительно барабана и, падая вниз, дробят руду ударом. Таким образом, мы имеем дело с установившимся движением системы, состоящей из шаров и руды. Контакт между последними сопровождается взаимным давлением соприкасающихся тел, которое исчезает в период их свободного параболического движения.
Работа ставит своей задачей выяснить в количественном и качественном отношении основные обстоятельства движения некоторой вибрационной машины, предназначенной для транспортировки и сортировки материала, причем рассматриваются как дорезонансные, так и послерезонансные режимы работы этой машины. Задача сводится к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Интегрирование системы проводится при помощи разложения неизвестных функций в ряды по степеням малого параметра. Полученные интегралы дают возможность определить частоты свободных колебаний рассматриваемой материальной системы, а следовательно, и условия резонанса. Совокупность полученных данных позволяет произвести расчет на прочность вибрирующих частей конструкции и дать такие соотношения параметров, которые позволяют уменьшить нежелательные при правильном функционировании вибрационной машины угловые смещения ее обеих рам.
Применяемый в настоящее время расчет подъемных шахтных канатов на прочность носит явно условный характер. В основание этого расчета положен так называемый статический коэффициент безопасности, представляющий отношение разрывающей нагрузки к нагрузке статической (вес каната и концевого груза). Само собой разумеется, что при таком способе расчета динамическая нагрузка совершенно не учитывается и действительное значение коэффициента безопасности (динамического) остается неизвестным. Естественно было ожидать, что указанное положение привело из понятных соображений осторожности к несколько преувеличенным значениям коэффициента безопасности, особенно для глубоких шахт, где вес каната играет существенную роль. В силу этого обстоятельства в американской практике значение упомянутого коэффициента устанавливается дифференцированно, в зависимости от глубины шахты и тем меньше, чем больше упомянутая глубина. По-видимому, условия работы каната в глубоких шахтах считаются более благоприятными в смысле величины напряжений. Следует все-таки указать, что последнее утверждение, хотя и носит на первый взгляд более или менее вероятный характер, до сих пор еще не является вполне обоснованным и, кроме того, имеет исходным пунктом оценку напряжений при нормальном режиме подъема.
Задача определения напряжений в подъемных канатах и родственный ей по постановке и методам решения вопрос о продольных колебаниях упругих стержней насчитывают долгую историю. Настоящая работа имеет целью продолжить аналитическую разработку вопроса об определении напряжений в подъемных канатах переменной длины для пополнения теоретического материала, необходимого при рациональном расчете на прочность подъемных канатов. Самый расчет производится путем комбинирования наиболее невыгодных в смысле прочности обстоятельств с учетом как нормального режима подъема, так и специальных его случаев. Методика такого расчета требует дополнительного исследования и в нашу задачу не входит.
При больших высотах подъема необходимо учитывать как массу, так и вес каната. Будем рассматривать последний, как упругую нить, пренебрегая его поперечными размерами, и ограничимся случаем каната постоянного сечения. Таким образом, мы приходим к некоторой частной задаче математической физики.
Задача определения напряжений в подъемных канатах и родственный ей по постановке и методам решения вопрос о продольных колебаниях упругих стержней насчитывают долгую историю, изложенную в появившейся недавно монографии проф. А. С. Локшина. Еще в 1815 г. Poisson изучал свободные колебания призматического стержня с грузом на конце. Не задаваясь целью перечислить все ближайшие по времени работы, отметим исследование Boussinesq об ударе тела определенной массы о конический стержень бесконечной длины, а также мемуары Saint-Venant , изучавшего удар двух призматических и конических стержней. Те же авторы рассматривали среди других смежных вопросов также вопрос о продольных колебаниях стержня с грузом на конце. Основные результаты указанных' авторов изложены в известной книге A. Love.
Рассматриваемая в этой работе задача математической физики имеет большое значение в горном деле, именно в вопросах шахтного подъема и требует дальнейшей разработки. Ранее функция e(s), характеризующая закон изменения относительного удлинения для части каната, навитой на барабан, считалась произвольно заданной. В силу произвольного задания этой функции элементы вышеупомянутой части каната, переходя через положение С, претерпевают удар в момент их включения в вертикальную часть ВС каната, так относительное удлинение и скорость этих элементов, вообще говоря, не совпадают соответственно с относительным удлинением и скоростью части ВС каната в точке С. Заметим здесь, что значения скоростей отличаются друг от друга на малую величину порядка относительного удлинения (см. далее). Задачи опускания и поднятия груза приводят, вообще говоря, к различным формам второго пограничного условия. Совпадение этих форм имеет место лишь в одном частном случае, требующем специального задания функции e(s). Наконец, в заключение исследуем в качестве примера характер упругих деформаций каната для начального периода вращения барабана (см. статью).
В предыдущей работе, посвященной теории шаровой цилиндрической мельницы, мною изучался начальный период неустановившегося движения шаров. Если угловая скорость вращения барабана остается постоянной, то режим шаровой мельницы по истечении некоторого времени можно считать установившимся, причем величина и направление скорости различных шаров, проходящих через одну и ту же. точку пространства, с течением времени не меняются. Мы будем говорить о внешнем ряде шаров. Те же рассуждения относятся и к другим рядам, если сделать предположение о независимости относительного движения различных рядов. Это предположение, конечно, требует дополнительного исследования. Теория шаровой мельницы, которой обычно пользуются на практике, имеет приближенный характер. Предметом настоящей работы является уточнение обычной приближенной теории шаровой мельницы (см. статью).
Задача состоит в исследовании движения частицы, движущейся под влиянием силы тяжести и при наличии трения по наружной поверхности круглого цилиндра, вращающегося вокруг горизонтальной оси. Рассматриваемая задача находит себе приложение в некоторых вопросах горно-обогатительного дела, именно в теории барабанного сепаратора, применяющегося для обогащения руд, а также в Теории барабанного сбрасывателя, имеющего назначение выгружать в определенном пункте материал, перемещаемый при помощи ленточного транспортера. Полученные результаты позволяют уточнить указанные выше теории, излагаемые обычно в технических руководствах.
Один из вопросов теории грохотов и конвейеров заключается в изучении движения с трением Один из вопросов теории грохотов и конвейеров заключается в изучении движения с трением частицы материала по плоскости, совершающей некоторое движение, которое в настоящей работе считается наперед заданным. С этой целью составляются диференциальные уравнения движения материала в самом общем случае движения грохота и затем применяются к случаю плоского движения, представляющему практический интерес. Наконец, указываются некоторые частные случаи интегрируемости полученного диференциального уравнения.
Расчет каната на прочность имеет на практике несколько условный характер. Именно исходят из отношения разрывающей нагрузки к нагрузке статической, которое носит название коэфициента безопасности и наименьшая величина которого устанавливается правилами безопасности для подъемов. Задавшись величиной этого коэфициента и найдя при его помощи число и диаметр проволок, производят затем поверку коэфициента безопасности, частично принимая во внимание действительные напряжения в канате. Однако, поскольку последние полностью не учитываются, подобная поверка не может дать достаточно ясного представления о действительном значении коэфициента безопасности. В настоящем исследовании мы ограничиваемся небольшими высотами подъема, приводя вопрос к интегрированию обыкновенного диференциального уравнения третьего порядка.
Теория спирального сепаратора, а также аналогичная теория винтового спуска очень мало разработаны. Поэтому следует отметить попытку проф. Л. Б. Левенсона вести конструктивный расчет сепаратора, исходя из анализа движения обогащаемого материала. Соответствующие диференциальные уравнения движения были составлены проф. М. И. Акимовым. Их интегрирование в первом приближении выполнено в настоящей статье. Существенную роль при проектировании спирального сепаратора играет построение проекций на горизонтальную плоскость траекторий движущихся частиц (так называемая диаграмма разгрузки). Последняя позволяет судить, насколько конструируемый сепаратор подходит для обогащения определенного материала. Автор поставил своей задачей дать другой метод построения диаграммы разгрузки, именно аналитический, основанный на интегрировании в первом приближении диференциальных уравнений движения. Этот последний позволяет также осветить целесообразность новых форм спирального сепаратора, предложенных проф. М. И. Акимовым. Вопрос о том, насколько велика погрешность первого приближения, составляет нашу дальнейшую задачу.
Движение шаров в шаровой мельнице было предметом исследования White (1905) и Davis (1920), рассматривавших траектории внешнего ряда шаров после их отделения от стенки барабана как параболические. Однако некоторые экспериментаторы в своей коллективной работе указывают, что шары при своем свободном движении отбрасываются дальше, чем это предполагается упомянутой выше теорией. Это обстоятельство не было учтено теориями White и Davis. Поэтому кажется целесообразным пересмотреть заново старую теорию шаровой мельницы с целью ее уточнения и учета взаимного давления шаров в период их относительного движения по отношению к барабану. Предметом нашего ближайшего исследования явится траектория внешнего ряда шаров. Заметим прежде всего, что обычно момент отделения шара от стенки барабана отождествляется с моментом отделения от нижележащего шара. Между тем в действительности эти моменты не совпадают. За протекающее между ними время нижний шар продолжает производить давление на верхний и тем самым оказывает влияние на характер траектории последнего.
Ограничимся рассмотрением шаровой мельницы, состоящей из цилиндрического барабана с горизонтальной осью вращения и загруженной смесью шаров и руды. Движение шара в шаровой мельнице может быть разбито на три периода. В продолжение первого периода шар не имеет относительного движения по отношению к вращающемуся барабану и движется, будучи как бы неизменно связан с последним. Во второй период шар отделяется от стенки барабана, но еще продолжает опираться на нижележащий шар, двигаясь по последнему. Наконец третий период начинается с момента, когда движущийся шар покидает нижний. Изучение движения шара за первый и третий периоды не встречает затруднений. Поэтому предметом дальнейшего исследования является только второй период. Рассматриваемое движение шара происходит в вертикальной плоскости, перпендикулярной к оси вращения барабана.
Ранее мной был рассмотрен имеющий отношение к очертанию аэропланных крыльев вопрос о движении идеальной несжимаемой жидкости в присутствии неподвижного цилиндрического твердого тела. При этом обтекаемый контур предполагается алгебраическим и скорость жидкости на бесконечно-большом расстоянии от твердого тела постоянной по величине и направлению. На бесконечности скорость идеальной несжимаемой жидкости постоянна по величине и направлению. В этой статье мы показываем, что применение упомянутого выше конформного преобразования приводит к контуру препятствия, представляющему алгебраическую кривую порядка 2m (см. статью).
