Вопрос этот для случая однородного поля — поля силы тяжести подробно рассмотрен проф. М. И. Акимовым, который нашел все поверхности, допускающие движение тяжелой точки по винтовым линиям с вертикальной осью при наличии трения, и исследовал условия для этих поверхностей, при которых рассматриваемое движение будет устойчивым.
Пусть F T и F n будут абсолютные значения касательной и нормальной к поверхности составляющих действующей на точку силы веса. Точка, помещенная на поверхность без начальной скорости» остается при наличии трения в равновесии, если F r~ kF N> и придет в движение, если F r>kF N , где k— коэффициент трения. Дифференциальные уравнения движения на шероховатой поверхности (г,tp, z) = 0 точки М веса gв цилиндрических координатах 1 г, 2 (ось z направлена вертикально вниз) -см. статью.
При исследовании установившегося движения тяжелой материальной частицы по винтовой линии на шероховатой винтовой поверхности с направленной вертикально вверх осью Z цилиндрической координатной системы М. И. Акимов отметил винтовые поверхности, соответствующие значениям функции (см. статью), движение на которых тяжелой точки по винтовым линиям, при наличии трения, обладает специальными свойствами. На первой из этих поверхностей рассматриваемое движение (при соответствующих коэффициентах трения) по всем винтовым линиям возможно лишь с одной и той же постоянной скоростью. На второй поверхности (при соответствующих коэффициентах трения) по всем винтовым линиям оно возможно лишь с одной и той же постоянной вертикальной составляющей скоростью. Такая поверхность может найти применение в тех конструкциях спирального сепаратора, когда разгрузка разнородных разделившихся частиц смеси должна происходить одновременно. На третьей поверхности, при одном и том же коэффициенте трения к, установившееся движение тяжелых частиц может происходить по любой винтовой линии. Настоящая работа содержит расчет, необходимый для построения трех рассматриваемых винтовых поверхностей в целях экспериментального исследования происходящих на них установившихся движений тяжелых частиц.
Обобщая проблему Каталана о движении точки, вращающейся на полированной поверхности, автор ищет поверхности, допускающие движение точки, вращающейся по спирали с вертикальной осью в присутствии трения, и исследует природу устойчивости движения точки вращения на спирали, расположенной на шероховатой винтовой поверхности с вертикальной осью, а также влияние на это движение сопротивления среды, зависящего от скорости, и вращения поверхности вокруг аэродинамических винтов.
В настоящей работе приведены элементарные выводы их и указан ряд новых поверхностей, могущих найти применение в теории спирального сепаратора и представляющих, при надлежащем выборе их, известные преимущества перед обыкновенною косою винтовою поверхностью, как в смысле достижения большей устойчивости происходящего на них винтового движения, так и по возможности целесообразного выбора распределения скоростей движущихся по ним масс. В этой работе приведены также новые результаты, относящиеся к исследованию устойчивости рассматриваемого движения по винтовой линии на шероховатой поверхности, и выяснено влияние на это движение: 1) сопротивления среды, 2) вращения поверхности вокруг вертикальной оси расположенных на ней винтовых линий.
Цель этой заметки - упростить (метод, предложенный академиком Н. М. Крыловым для построения заданной функции в виде ряда, действующего по многочленам Якоби. Формируя a priori разложение с равномерной и абсолютной сходимостью, мы показываем, «не полагаясь на теорему Riesz-Fischer, что его можно отождествить с разложениями по многочленам Якоби.
Глава IV. Некоторые разложения в ряды по обобщенный функциям Bessel’a. Глава V. Приложение обобщенных функций Bessel’a к задачам механики.
Предметом настоящей работы служит изучение функций, которые встречаются первоначально в виде определенного интеграла (см. статью). Как простейший пример, поясняющий применение полученных формул, я привожу классическую задачу о движении сферического маятника в случае его малых колебаний около наинизшего положения равновесия. Примеры задач, приводящих к обобщенному уравнению Kepler’a. Происхождение функций Bessel’я многих переменных и выражения их в виде бесконечных рядов (см. статью). Автор уделяет внимание уравнениям, удовлетворяемым обобщенными функциями Bessel’я, и общему решению этих уравнений.
Дано подробное описание первого доказательства основной теремы Гаусса и доказательства Коши (см. статью).
Предложим себе исследовать предельные случаи функции Риманна. Возьмем дифференциальное уравнение Р функции и рассмотрим функции (см. статью). По примеру Риманна мы представляем себе путь интегрирования в виде гибкой, растяжимой и легко подвижной нити. При своем движении особенная точка деформирует этот путь, толкая его перед собой и никогда не переступая его. При таком представлении пути интегрирования из замкнутых кривых соответствующих интегралам (11), (13), (15), для интегралов (16), (18), (20) получаем открытые пути в определенных направлениях простирающееся в бесконечность.
