В 1954 г. в соавторстве с О. В. Сармановым и Р. Э. Соловейчиком автором была поставлена следующая стохастическая задача.

Во многих исследованиях оказывается необходимым располагать сведениями о законах распределения геометрических характеристик (размер, форма и т. п.) вкраплений, содержащихся в массе твердого вещества. Однако часто непосредственно измерение зерен, представляющих собой вкрапления, не осуществимо, так как механическое отделение их от связывающей среды без существенных повреждений оказывается невозможным (например, для электрокорунда. Между тем можно высказать косвенное суждение о распределении геометрического параметра зерна по экспериментально найденным распределениям некоторых параметров плоских сечений вкраплений, наблюдаемых в шлифе.

В настоящей статье исследуются элементарные свойства введен­ной нами теоретико-числовой функции х (n). Функция х (n) (определенная ниже) связана с вариационной трак­товкой различных задач аддитивной теории чисел. С помощью х (n) строятся неравенства, которые выполняются для всего множества М целых рациональных положительных чисел, но переходят в равенства для некоторых подмножеств множества М. Так осуществляется экстре­мальная аттрибутация простых чисел, простых пар и т. п.

Во многих экспериментальных исследованиях наличие какого-либо явления констатируется путем наблюдения "сигнала", т. е. путем установления того, что осуществляется некоторое, как мы будем говорить, элементарное событие А. Однако это элементарное событие может быть вызвано и причинами побочными, не связанными с изучаемым явлением. В таком случае лишь повторные появления события А позволят с достаточной уверенностью судить о наличии изучаемого явления. Проведем серию n опытов, где событие А может появиться с некоторой вероятностью р. Интересующее нас явление (осуществление этого явления назовем событием М) может быть в разной степени связано с элементарным событием А. Естественно считать, что между событием М и элементарным событием А существует довольно слабая зависимость, если для получения уверенности в осуществлении М нужно при п испытаниях наблюдать А достаточно часто (например, хоть однажды t раз подряд). В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением лишь трех типов зависимости событий М и А, наиболее важных для приложений (см. статью).

Рассматриваемая в настоящей работе задача возникла при изу­чении радиационных свойств дымов и туманов. В первом приближении это — золи, состоящие из абсолютно черных частиц. Прозрачность слоя можно охарактеризовать величиной средней площади в перпендику­лярном лучу зрения сечении потока, не покрытой частицами золя. Эта точка зрения принадлежит К. С. Шифрину. Возникает необходимость в решении следующего вопроса: каково среднее значение свободной площади ограниченного куска плоскости при расположении на нем n «элементарных» областей замкнутых и конгруэнтных (такое предположение означает, что рассматривается монодисперсный золь).

В настоящей работе дается решение одной общей задачи геометри­ческой теории вероятностей, к которой приводит ряд вопросов современ­ной техники (авиационная агротехника, вопросы видимости в мутных средах и т. д.). Рассмотрим множество А точек A₀, A..., An, случайно распреде­ленных в круге К радиуса R. Примем, что попадания каждой отдельной точки этого множества в части круга К, равные по площади, равно­вероятны (закон равной вероятности). Пусть, далее, число точек мно­жества А связано с величиной радиуса R так, что существует и конечен предел отношения. Иными словами, средняя концентрация точек в круге К при n и R, неограниченно возрастающих, стремится к конечной пре­дельной концентрации. Будем изучать случайную величину r, представляющую собой наи­меньшее из расстояний произвольной точки A₀ множества А, при слу­чайном положении ее в круге К, до остальных точек множества А. Рассматриваемая случайная величина будет, очевидно, равна вели­чине радиуса круга с центром в точке A₀, не содержащего внутри себя других точек множества А и имеющего на границе по крайней мере одну точку этого множества.