Об асимптотическом представлении средних расстояний в случайном точечном множестве на плоскости

Аннотация

В настоящей работе дается решение одной общей задачи геометри­ческой теории вероятностей, к которой приводит ряд вопросов современ­ной техники (авиационная агротехника, вопросы видимости в мутных средах и т. д.). Рассмотрим множество А точек A₀, А,, Аn, случайно распреде­ленных в круге К радиуса R. Примем, что попадания каждой отдельной точки этого множества в части круга К, равные по площади, равно­вероятны (закон равной вероятности). Пусть, далее, число точек мно­жества А связано с величиной радиуса R так, что существует и конечен предел отношения. Иными словами, средняя концентрация точек в круге К при n и R, неограниченно возрастающих, стремится к конечной пре­дельной концентрации. Будем изучать случайную величину r, представляющую собой наи­меньшее из расстояний произвольной точки A₀ множества А, при слу­чайном положении ее в круге К, до остальных точек множества А. Рассматриваемая случайная величина будет, очевидно, равна вели­чине радиуса круга с центром в точке A₀, не содержащего внутри себя других точек множества А и имеющего на границе по крайней мере одну точку этого множества.