Об асимптотическом представлении средних расстояний в случайном точечном множестве на плоскости

Abstract

В настоящей работе дается решение одной общей задачи геометри­ческой теории вероятностей, к которой приводит ряд вопросов современ­ной техники (авиационная агротехника, вопросы видимости в мутных средах и т. д.). Рассмотрим множество А точек А 0 , А,, А п , случайно распреде­ленных в круге К радиуса R . Примем, что попадания каждой отдельной точки этого множества в части круга К, равные по площади, равно­вероятны (закон равной вероятности). Пусть, далее, число точек мно­жества А связано с величиной радиуса R так, что существует и конечен предел отношения . Иными словами, средняя концентрация точек в круге К при п и R , неограниченно возрастающих, стремится к конечной пре­дельной концентрации. Будем изучать случайную величину г, представляющую собой наи­меньшее из расстояний произвольной точки А 0 множества А, при слу­чайном положении ее в круге К, до остальных точек множества А. Рассматриваемая случайная величина будет, очевидно, равна вели­чине радиуса круга с центром в точке А 0 , не содержащего внутри себя других точек множества А и имеющего на границе по крайней мере одну точку этого множества.