В 1954 г. в соавторстве с О. В. Сармановым и Р. Э. Соловейчиком автором была поставлена следующая стохастическая задача.
Во многих исследованиях оказывается необходимым располагать сведениями о законах распределения геометрических характеристик (размер, форма и т. п.) вкраплений, содержащихся в массе твердого вещества. Однако часто непосредственно измерение зерен, представляющих собой вкрапления, не осуществимо, так как механическое отделение их от связывающей среды без существенных повреждений оказывается невозможным (например, для электрокорунда. Между тем можно высказать косвенное суждение о распределении геометрического параметра зерна гю экспериментально найденным распределениям некоторых параметров плоских сечений вкраплений, наблюдаемых в шлифе.
В настоящей статье исследуются элементарные свойства введенной нами теоретико-числовой функции х(га). Функция х(га) (определенная ниже) связана с вариационной трактовкой различных задач аддитивной теории чисел. С помощью х(га) строятся неравенства, которые выполняются для всего множества М целых рациональных положительных чисел, но переходят в равенства для некоторых подмножеств множества М. Так осуществляется экстремальная аттрибутация простых чисел, простых пар и т. п.
Во многих экспериментальных исследованиях наличие какого-либо явления констатируется путем наблюдения „сигнала", т. е. путем установления того, что осуществляется некоторое, как мы будем говорить, элементарное событие А. Однако это элементарное событие может быть вызвано и причинами побочными, не связанными с изучаемым явлением. В таком случае лишь повторные появления события А позволят с достаточной уверенностью судить о наличии изучаемого явления. Проведем серию n опытов, где событие А может появиться с некоторой вероятностью р. Интересующее нас явление (осуществление этого явления назовем событием М) может быть в разной степени связано с элементарным событием А. Естественно считать, что между событием М и элементарным событием А существует довольно слабая зависимость, если для получения уверенности в осуществлении М нужно при п испытаниях наблюдать А достаточно часто (например, хоть однажды t раз подряд). В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением лишь трех типов зависимости событий М и А, наиболее важных для приложений (см. статью).
The problem considered in this paper arose in the study of the radiation properties of smoke and fog. In the first approximation, these are sols consisting of absolutely black particles. The transparency of the layer can be characterized by the value of the average area in the flow cross-section perpendicular to the line of sight, not covered by sol particles. This point of view belongs to K. S. Shifrin. The need arises to solve the following question: what is the average value of the free area of a limited piece of a plane when n "elementary" regions are located on it, closed and congruent (such an assumption means that a monodisperse sol is considered).
In this paper, we give a solution to a general problem in geometric probability theory, which is the subject of a number of issues in modern technology (aviation agricultural technology, visibility in turbid environments, etc.). Let us consider a set A of points A₀, A..., An, randomly distributed in a circle K of radius R. We assume that the occurrence of each individual point of this set in parts of the circle K equal in area is equally probable (the law of equal probability). Let, further, the number of points in the set A be related to the value of the radius R such that the limit of the ratio exists and is finite. In other words, the average concentration of points in the circle K, with n and R increasing without limit, tends to a finite limiting concentration. We will study the random variable r, which is the smallest of the distances of an arbitrary point A₀ of set A, with its random position in the circle K, to the other points of set A. The random variable under consideration will obviously be equal to the radius of a circle with its center at point A₀, which does not contain other points of set A and has at least one point of this set on its boundary.
