При изучении геологии некоторого района часто используют различ­ные методы. Каждый из них с точки зрения той или иной конкретной задачи приносит не только информацию, интересующую исследователя в данный момент, но и информацию, представляющую гораздо меньший интерес, либо не существенную на данном этапе исследований ...

Пусть имеется функция f(x), являющаяся реализацией некоторой стационарной случайной функции. Требуется найти приближенное зна­чение интеграла ...

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИВ связи с созданием высокочувствительной измерительной аппара­туры стало возможным определение малых концентраций и потоков радиоактивной примеси в атмосфере. Благодаря этому возникла важ­ная с практической точки зрения задача определения положения и мощ­ности источников примеси, расположенных под землей, по наблюдениям в приземном слое атмосферы. В основу решения этой задачи должна быть положена теория, объясняющая распространение радиоактивной примеси в двухслойной среде земля—атмосфера.

В последнее время все большее применение к решению различ­ных задач математической физики находит формальный аппарат дельта-функций, т. е. разрывных функций, определяемых равенст­вами ...

Рассмотрим следующую задачу теории теплопроводности. В пространстве, состоящем из двух сред, разделенных плоской поверхностью раздела, задано начальное распределение температуры. Требуется найти температуру в любой точке пространства, в любой момент времени. Тепловые характеристики каждой из двух сред считаются постоянными. Сформулированная задача была рассмотрена рядом авторов для одномерного случая. Возможность решения многомерного случая с помощью интегральных уравнений была указана Мюнцем [⁴]. В работе [⁵] была решена методом последовательных приближений двухмерная задача. В настоящей работе дается замкнутое решение рас­сматриваемой задачи для двух- и трехмерного случая. Способ решения может быть применен и к ряду аналогичных задач.

Во многих экспериментальных исследованиях наличие какого-либо явления констатируется путем наблюдения „сигнала", т. е. путем установления того, что осуществляется некоторое, как мы будем говорить, элементарное событие А. Однако это элементарное событие может быть вызвано и причинами побочными, не связанными с изучаемым явлением. В таком случае лишь повторные появления события А позволят с достаточной уверенностью судить о наличии изучаемого явления. Проведем серию n опытов, где событие А может появиться с некоторой вероятностью р. Интересующее нас явление (осуществление этого явления назовем событием М) может быть в разной степени связано с элементарным событием А. Естественно считать, что между событием М и элементарным событием А существует довольно слабая зависимость, если для получения уверенности в осуществлении М нужно при п испытаниях наблюдать А достаточно часто (например, хоть однажды t раз подряд). В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением лишь трех типов зависимости событий М и А, наиболее важных для приложений (см. статью).

Рассматриваемая в настоящей работе задача возникла при изу­чении радиационных свойств дымов и туманов. В первом приближении это — золи, состоящие из абсолютно черных частиц. Прозрачность слоя можно охарактеризовать величиной средней площади в перпендику­лярном лучу зрения сечении потока, не покрытой частицами золя. Эта точка зрения принадлежит К. С. Шифрину. Возникает необходимость в решении следующего вопроса: каково среднее значение свободной площади ограниченного куска плоскости при расположении на нем n «элементарных» областей замкнутых и конгруэнтных (такое предположение означает, что рассматривается монодисперсный золь).

В настоящей работе дается решение одной общей задачи геометри­ческой теории вероятностей, к которой приводит ряд вопросов современ­ной техники (авиационная агротехника, вопросы видимости в мутных средах и т. д.). Рассмотрим множество А точек A₀, А,, Аn, случайно распреде­ленных в круге К радиуса R. Примем, что попадания каждой отдельной точки этого множества в части круга К, равные по площади, равно­вероятны (закон равной вероятности). Пусть, далее, число точек мно­жества А связано с величиной радиуса R так, что существует и конечен предел отношения. Иными словами, средняя концентрация точек в круге К при n и R, неограниченно возрастающих, стремится к конечной пре­дельной концентрации. Будем изучать случайную величину r, представляющую собой наи­меньшее из расстояний произвольной точки A₀ множества А, при слу­чайном положении ее в круге К, до остальных точек множества А. Рассматриваемая случайная величина будет, очевидно, равна вели­чине радиуса круга с центром в точке A₀, не содержащего внутри себя других точек множества А и имеющего на границе по крайней мере одну точку этого множества.