Вопрос этот для случая однородного поля — поля силы тяжести подробно рассмотрен проф. М. И. Акимовым, который нашел все поверхности, допускающие движение тяжелой точки по винтовым линиям с вертикальной осью при наличии трения, и исследовал условия для этих поверхностей, при которых рассматриваемое движение будет устойчивым.
Пусть FT и Fn будут абсолютные значения касательной и нормальной к поверхности составляющих действующей на точку силы веса. Точка, помещенная на поверхность без начальной скорости, остается при наличии трения в равновесии, если Ft ≤kFn, и придет в движение, если FT>gt; kFn, где k - коэффициент трения. Дифференциальные уравнения движения на шероховатой поверхности (r, φ, z) = 0 точки М веса g в цилиндрических координатах r, φ, z (ось z направлена вертикально вниз) см. приводятся в статьею.
Статья содержит расчёт таблиц, необходимых для построения винтовых поверхностей z=aφ+f(r)z=aφ+f(r), которые встречаются в теории винтового сепаратора. (См. работу М. И. Акимова «Движение тяжёлой точки по винтовой линии, расположенной на матовой поверхности» в «Известиях Ленинградского горного института», т. 10, вып. 1 (1936), стр. 11 и 21; т. 12, вып. 3 (1939), стр. 4, 5, 38 и 39. См. также статью В. А. Его́нова «К теории винтового сепаратора» в тех же научных изданиях, т. 10, вып. 1, стр. 23–30.)
Обобщая проблему Каталана о движении точки, вращающейся на полированной поверхности, автор ищет поверхности, допускающие движение точки, вращающейся по спирали с вертикальной осью в присутствии трения, и исследует природу устойчивости движения точки вращения на спирали, расположенной на шероховатой винтовой поверхности с вертикальной осью, а также влияние на это движение сопротивления среды, зависящего от скорости, и вращения поверхности вокруг аэродинамических винтов.
В настоящей работе, представляющей подробное и систематическое изложение полученных мною прежде результатов, приведены элементарные выводы их и указан ряд новых поверхностей, могущих найти применение в теории спирального сепаратора и представляющих, при надлежащем выборе их, известные преимущества перед обыкновенною косою винтовою поверхностью, как в смысле достижения большей устойчивости происходящего на них винтового движения, так и по возможности целесообразного выбора распределения скоростей движущихся по ним масс. В этой работе приведены также новые результаты, относящиеся к исследованию устойчивости рассматриваемого движения по винтовой линии на шероховатой поверхности, и выяснено влияние на это движение: 1) сопротивления среды, 2) вращения поверхности вокруг вертикальной оси расположенных на ней винтовых линий.
Цель этой заметки - упростить метод, предложенный академиком Н. М. Крыловым для построения заданной функции в виде ряда, действующего по многочленам Якоби. Формируя a priori разложение с равномерной и абсолютной сходимостью, мы показываем, не полагаясь на теорему Riesz-Fischer, что его можно отождествить с разложениями по многочленам Якоби.
Глава IV. Некоторые разложения в ряды по обобщенный функциям Bessel’я. Глава V. Приложение обобщенных функций Bessel’я к задачам механики.
Предметом настоящей работы служит изучение функций, которые встречаются первоначально в виде определенного интеграла (см. статью). В частном случае одного переменного имеем классическое уравнение Кеплер’а и его решение, данное Bessel'ем. Как простейший пример, поясняющий применение полученных формул, я привожу классическую задачу о движении сферического маятника в случае его малых колебаний около наинизшего положения равновесия. Как примеры на применение обобщенных функций Bessel'я я привожу еще уравнение математического маятника, уравнение теории продольного изгиба, дифференциальное уравнение, встречающееся в теории малых колебаний в пустоте системы с одною степенью свободы, а также во многих новых исследованиях по небесной механике, и дифференциальное уравнение малых колебаний в сопротивляющейся среде при сопротивлении среды, пропорциональном квадрату скорости.
Дано подробное описание первого доказательства основной теоремы Гаусса и доказательства Коши (см. статью).
Предложим себе исследовать предельные случаи функции Риманна. Возьмем дифференциальное уравнение Р функции и рассмотрим функции (см. статью). По примеру Риманна мы представляем себе путь интегрирования в виде гибкой, растяжимой и легко подвижной нити. При своем движении особенная точка деформирует этот путь, толкая его перед собой и никогда не переступая его. При таком представлении пути интегрирования из замкнутых кривых соответствующих интегралам (11), (13), (15), для интегралов (16), (18), (20) получаем открытые пути в определенных направлениях простирающиеся в бесконечность.
