Рассматриваются дифференциальные уравнения в отношении теорем, относящихся к уравнениям Монжа и Ампера.
Получили однородное линейное дифференциальное уравнений первого порядка с частными производными относительно q. Уравнение это равносильно системе обыкновенных совокупных дифференциальных уравнений первого порядка. Настоящая заметка найдена в посмертных бумагах И.П. Оставались неоконченными только вычисления примера.
Дается алгебраическое уравнение F(x,y) = 0, mu степени относительно х и nu степени относительно у. Требуется х и у заменить новыми количествами ɛ и ɳ посредством уравнений. ɛ = j(х,у), ɳ = f(x,y), j и f рациональные функции. За немногими исключениями, которые должны быть в каждом частном случае предметом особого исследования, преобразование (2) будет бирационально. Осуществить это преобразование посредством рациональных действий можно следующими образом. Рассмотрим способ приведения гиперэлиптического интеграла.
Будем изменять x по сомкнутой кривой в положительном направлении.
Возьмем интеграл, изыщем подстановку наинизшей степени, при посредстве которой достигается приведение данного интеграла к эллиптическому.
Рассмотрим элиптический интеграл, значения аргументов и выведено искомое уравнение.
