Прием Фридрихса расширения положительно определенного оператора в гильбертовом пространстве до самосопряженного (и, следовательно, имеющего всюду ограниченный обратный) является в настоящее время, повидимому, наиболее простым способом доказательства теорем существования решений краевых задач для самосопряженных уравнений эллиптического типа. Действительно, согласно Фридрихсу, дело сводится к доказательству неравенства, выражающего положительную определенность оператора в соответствующем гильбертовом пространстве, после чего существование обобщенного решения задачи становится очевидным. При этом сама процедура расширения оператора, имеющая в каждом случае свое конкретное теоретико-функциональное содержание, указывает, в каком смысле это обобщенное решение следует понимать. Предлагаемая заметка имеет целью показать, что результат Фридрихса справедлив и для положительно определенных операторов, действующих из одного пространства Банаха в другое, ему сопряженное. В качестве применения приводятся некоторые результаты о разрешимости эллиптических краевых задач.
L. V. Kantorovich proposed a new direct method for solving problems of the calculus of variations, which he called the steepest descent method. As L. V. Kantorovich showed, the method can be successfully used for the approximate solution of linear functional equations in a Hilbert space. In addition, L. V. Kantorovich applied the steepest descent method to the problem of eigenvalues of completely continuous operators. In application to this problem, the method consists of the following. In this note, a proof of the convergence of the process is given without the assumption of closeness of x0 to x*. In addition, a comparison of the steepest descent method with the known iterative method for calculating eigenvalues is made, and a multi-step version of the method under consideration is investigated. In what follows, the assumption that m = 0 is not used.
