О методе Фридрихса — расширения положительно определенного оператора до самосопряженного
Abstract
Прием Фридрихса расширения положительно определенного оператора в гильбертовом пространстве до самосопряженного (и, следовательно, имеющего всюду ограниченный обратный) является в настоящее время, повидимому, наиболее простым способом доказательства теорем существования решений краевых задач для самосопряженных уравнений эллиптического типа. Действительно, согласно Фридрихсу, дело сводится к доказательству неравенства, выражающего положительную определенность оператора в соответствующем гильбертовом пространстве, после чего существование обобщенного решения задачи становится очевидным. При этом сама процедура расширения оператора, имеющая в каждом случае свое конкретное теоретико-функциональное содержание, указывает, в каком смысле это обобщенное решение следует понимать. Предлагаемая заметка имеет целью показать, что результат Фридрихса справедлив и для положительно определенных операторов, действующих из одного пространства Банаха в другое, ему сопряженное. В качестве применения приводятся некоторые результаты о разрешимости эллиптических краевых задач.
References
- Friedrichs K. Spektraltheorie halbbeschankter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren. Math. Ann., 1934. Bd, 109, H. 4—5.
- Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. Гостехиздат, 1950.
- Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа к математической физике. Изд-во Ленинградского университета, 1950.
- Вишик М.И. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических дифференциальных уравнений. Математический сборник. 1949, № 25(67).
- Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. Гостехиздат, 1952.
- Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения. Вестник Ленинградского университета, 1954, № 8.
- Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Математический сборник. 1954, № 35 (77).