Алгоритм среднего арифметико-геометрического из двух элементов, составляющий пример приближения многозначной трансцендентной функции одного переменного посредством алгебраической, введен в рассмотрение К. Ф. Гауссом.

Алгоритм В. Борхардта, представляющий обобщение алгоритма среднего арифметико-геометрического, впервые введен в рассмотрение Борхардтом, а затем изучался И. Хеттнером. В этих работах среднее Борхардта изучалось для действительных положительных начальных аргументов. Исследованию среднего Борхардта от комплексных начальных элементов посвящена работа Г. Генперта. Доказательство сходимости алгоритма Борхардта проводится Геппертом на основании геометрических соображений. В настоящей статье дается аналитическое доказательство сходимости алгоритма Борхардта и рассмотрены случаи вырождения алгоритма.