О теореме Weierstrass'a-Routh'a

Аннотация

Как известно, Лагранж в своей "Аналитической механике" при изложении теории малых колебаний системы точек допустил неправильное утверждение, что при кратности корней характеристического уравнения в решении всегда появляются члены, содержащие целые степени времени вне знаков синуса и косинуса. Ошибочность этого утверждения была указана, в 1858 г. Вейерштрассом, рассматривавшим однако, только частный случай системы уравнений, содержащих члены с производными второго порядка и члены линейные относительно искомый функций. Рауз в своем трактате об устойчивости движения рассмотрел общий случай уравнений, содержащих также члены с первыми производными. Настоящая заметка посвящена этому же вопросу. Не содержа существенно новых результатов, она имеет целью дать исчерпывающее исследование условий, при которых в решении системы линейных однородных уравнений 2-го порядка самого общего вида отсутствуют так называемые вековые члены. В основе лежит метод Коши интегрирования линейных уравнений, т. е. тот самый метод, который применил Вейерштрасс при изучении упомянутого выше частного случая. Преимущество этого способа — в его естественности: мы ищем выражения коэфициентов в общем интеграле системы и, приравнивая их нулю, получаем искомые условия.