Если мы зададимся видом симметрии и, согласно с ним, на один данный шар будем укладывать равные шары слоями по расстоянии их центров от центра данного шара и притом так, чтобы эти шары входили в углубления между предыдущими шарами и образовали правильную совокупность, то число шаров слоя будет вполне определенное, а именно будет равно величине симметрии в общем случае, когда направление радиуса-вектора каждого такого шара (начинающегося от центра начального шара) будет общим (то есть ни совпадать с осями симметрии, ни находиться в плоскостях симметрии), и будет определенным делителем этого числа в частных случаях. Рассмотрю три совокупности шаров гексакисоктаэдрического вида симметрии соответственно трем возможным в этом случае системам параллелоэдров: трипараллелоэдров, гексапараллелоэдров и гептапараллелоэдров, а также совокупность дигексонально-бипирамидального вида симметрии (и система тетрапараллелоэдров).

If we are given a type of symmetry and, in accordance with it, on one given sphere we place equal spheres in layers at the distance of their centers from the center of a given sphere and, moreover, in such a way that these spheres fit into the recesses between the previous ones and form a regular set, then the number of spheres of the layer will be quite definite, namely, it will be equal to the value of symmetry in the general case, when the direction of the radius vector of each such sphere (starting from the center of the initial sphere) will be common (that is, neither coincides with the axes of symmetry, nor is in the planes of symmetry), and will a certain divisor of this number in particular cases. I will consider three sets of spheres of hexakisoctahedral type of symmetry, corresponding to the three possible systems of parallelohedrons in this case: triparallelohedrons, hexaparallelohedrons and heptaparallelohedrons, as well as a set of dihexonic-bipyramidal type of symmetry (and a system of tetraparallelohedrons).