В статье «Крайнее упрощение зональных вычислений и кристаллографических вычислений вообще» я отметил ту крайнюю простоту, которую получают вычисления сферических биполярных координат, если положить за основание формулу Миллера. Теперь я дополню выведенные тогда формулы такими, которые относятся к вычислению котангенсов углов, образуемых с исходною какою угодно гранью пояса (см. заметку). Можно сделать вывод, что система зональных вычислений с биполярными координатами в своей особой простоте применима без применения последовательного, рекурсивного, хода вычисления, и прямо к граням с произвольными сложными индексами.

In the article “The ultimate simplification of zonal calculations and crystallographic calculations in general,” I noted the extreme simplicity that calculations of spherical bipolar coordinates obtain if we take Miller’s formula as the basis. Now I will supplement the formulas derived then with those that relate to the calculation of the cotangents of angles formed with an arbitrarily chosen initial face of the zone (see the note). It can be can concluded that the system of zonal calculations with bipolar coordinates, in its particular simplicity, is applicable without the use of a sequential, recursive procedure of calculation, and directly to faces with arbitrary, complex indices.