Как известно, Лагранж в своей "Аналитической механике" при изложении теории малых колебаний системы точек допустил неправильное утверждение, что при кратности корней характеристического уравнения в решении всегда появляются члены, содержащие целые степени времени вне знаков синуса и косинуса. Ошибочность этого утверждения была указана, в 1858 г. Вейерштрассом, рассматривавшим однако, только частный случай системы уравнений, содержащих члены с производными второго порядка и члены линейные относительно искомый функций. Рауз в своем трактате об устойчивости движения рассмотрел общий случай уравнений, содержащих также члены с первыми производными. Настоящая заметка посвящена этому же вопросу. Не содержа существенно новых результатов, она имеет целью дать исчерпывающее исследование условий, при которых в решении системы линейных однородных уравнений 2-го порядка самого общего вида отсутствуют так называемые вековые члены. В основе лежит метод Коши интегрирования линейных уравнений, т. е. тот самый метод, который применил Вейерштрасс при изучении упомянутого выше частного случая. Преимущество этого способа — в его естественности: мы ищем выражения коэфициентов в общем интеграле системы и, приравнивая их нулю, получаем искомые условия.

As is known, Lagrange in his “Analytical Mechanics”, when presenting the theory of small oscillations of a system of points, made the incorrect statement that when the roots of the characteristic equation are multiplicity, the terms containing integer powers of time outside the signs of sine and cosine always appear in the solution. The error of this statement was indicated in 1858 by Weierstrass, who, however, considered only a special case of a system of equations containing terms with second-order derivatives and terms linear with respect to the required functions. Rouse, in his treatise on the stability of motion, considered the general case of equations also containing terms with first derivatives. This note is devoted to the same issue. Without containing significantly new results, it aims to provide an exhaustive study of the conditions under which the so-called secular terms are absent in the solution of a system of linear homogeneous equations of the 2nd order of the most general form. It is based on the Cauchy method of integrating linear equations, i.e. the same method that Weierstrass used when studying the above-mentioned special case. The advantage of this method is its naturalness: we look for expressions for the coefficients in the general integral of the system and, equating them to zero, obtain the required conditions.