В настоящей работе дается решение одной общей задачи геометрической теории вероятностей, к которой приводит ряд вопросов современной техники (авиационная агротехника, вопросы видимости в мутных средах и т. д.). Рассмотрим множество А точек A0, А,, Аn, случайно распределенных в круге К радиуса R. Примем, что попадания каждой отдельной точки этого множества в части круга К, равные по площади, равновероятны (закон равной вероятности). Пусть, далее, число точек множества А связано с величиной радиуса R так, что существует и конечен предел отношения. Иными словами, средняя концентрация точек в круге К при n и R, неограниченно возрастающих, стремится к конечной предельной концентрации. Будем изучать случайную величину r, представляющую собой наименьшее из расстояний произвольной точки A0 множества А, при случайном положении ее в круге К, до остальных точек множества А. Рассматриваемая случайная величина будет, очевидно, равна величине радиуса круга с центром в точке A0, не содержащего внутри себя других точек множества А и имеющего на границе по крайней мере одну точку этого множества.
In this paper, we give a solution to a general problem in geometric probability theory, which is the subject of a number of issues in modern technology (aviation agricultural technology, visibility in turbid environments, etc.). Let us consider a set A of points A₀, A..., An, randomly distributed in a circle K of radius R. We assume that the occurrence of each individual point of this set in parts of the circle K equal in area is equally probable (the law of equal probability). Let, further, the number of points in the set A be related to the value of the radius R such that the limit of the ratio exists and is finite. In other words, the average concentration of points in the circle K, with n and R increasing without limit, tends to a finite limiting concentration. We will study the random variable r, which is the smallest of the distances of an arbitrary point A₀ of set A, with its random position in the circle K, to the other points of set A. The random variable under consideration will obviously be equal to the radius of a circle with its center at point A₀, which does not contain other points of set A and has at least one point of this set on its boundary.