2411-3336 2541-9404 Записки Горного института Journal of Mining Institute Санкт-Петербургский горный университет императрицы Екатерины ΙΙ Empress Catherine II Saint Petersburg Mining University pmi-12708 https://pmi.spmi.ru/pmi/article/view/12708 Статьи Articles About convergence of the algorithm of W. Borchardt О сходимости алгоритма В. Борхардта Veinger M. I. Вейнгер М. И. Veinger M. I. pmi@spmi.ru 14 02 1964 1964 43 3 26 32 02 09 1963 19 11 1963 14 02 1964 © 1964 М. И. Вейнгер © 1964 M. I. Veinger 1964 М. И. Вейнгер M. I. Veinger Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0) https://pmi.spmi.ru/pmi/article/view/12708

Алгоритм В. Борхардта, представляющий обобщение алгоритма среднего арифметико-геометрического, впервые введен в рассмотрение Борхардтом, а затем изучался И. Хеттнером. В этих работах среднее Борхардта изучалось для действительных положительных начальных аргументов. Исследованию среднего Бор­хардта от комплексных начальных элементов посвящена работа Г. Генперта. Доказательство сходимости алгоритма Борхардта проводится Геппертом на основании геометрических соображений. В настоящей статье дается аналитическое доказательство сходимо­сти алгоритма Борхардта и рассмотрены случаи вырождения алго­ритма.

The W. Borchardt algorithm, which is a generalization of the arithmetic-geometric mean algorithm, was first introduced by Borchardt and then studied by I. Hettner.In these works, the Borchardt mean was studied for valid positive initial arguments. The study of the Borchardt mean from complex initial elements is devoted to the work of G. Genpert. The proof of convergence of the Borchardt algorithm is carried out by Geppert on the basis of geometric considerations.In the present paper we give an analytical proof of convergence of the Borchardt algorithm and consider cases of degeneracy of the algorithm.

 Воhrchardt W. Monatsber. Konigl. Akad. Wiss., 1876, S. 611. Воhrchardt W. Monatsber. Konigl. Akad. Wiss., 1876, S. 611. Bohrchardt W. Abhandlung. Konigl. Akad. Wiss., 1878, S. 33. Bohrchardt W. Abhandlung. Konigl. Akad. Wiss., 1878, S. 33. Hettner I. J. reine und angew. Math., 1880, Bd. 89, s. 221; Bd. 112, S. 89. Hettner I. J. reine und angew. Math., 1880, Bd. 89, s. 221; Bd. 112, S. 89. Geppert H. J. reine und angew. Math., 1929, Bd. 161, S. 21. Geppert H. J. reine und angew. Math., 1929, Bd. 161, S. 21.