Пусть дано интегро-дифференциальное уравнение (см. статью). В настоящей статье мы исследуем решение уравнения (1) для начальных условий (2) методом, применявшимся нами для в работе [1]. Этот метод с небольшими видоизменениями легко переносится и на случай m>n.
В работах [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] нами были исследованы решения некоторых классов линейных интегро-дифференциальных уравнений. При этом для указанных типов уравнений были найдены как общие решения, так и решение задачи Коши. Метод, которым мы пользовались в цитированных работах, можно с успехом применить и к решению граничной задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений. Часть собственных чисел интегро-дифференциальной системы (2) при m>n. является собственными числами интегрального уравнения (32), а другая часть их является корнями уравнения Д (X) = 0. Вместе они образуют спектр собственных чисел интегро-дифференциальной системы (2). Отсюда следует, что спектр собственных чисел интегро-дифференциальной системы есть дискретное множество
В настоящей заметке исследуются решения интегро-дифференциального уравнения (см. статью). Это решение зависит от qпроизвольных параметров. Если при λ = λ' уравнение (51) не имеет решений, то и рассматриваемая задача Коши не имеет решений. Наконец заметим, что если определитель (40) на многообразии (39) обращается в нуль, то система (43) не разрешима, или разрешима неоднозначно относительно S и t k .Поэтому в уравнение (46) будут входить произвольные параметры. Следовательно, если начальное многообразие (39) является характеристическим, то уравнение (1) не имеет ни одного, или имеет бесконечное множество решений.
В связи с изучением точек ветвления нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, к решению которых приводится задача о продольном изгибе стержня, Н. Н. Назаров предложил исследовать интегро-дифференциальное уравнение (1) (см. статью). ... В настоящей статье предлагается простой метод решения уравнения (1), приводящий к необходимости решать одно интегральное уравнение Фредгольма и одну алгебраическую систему, число неизвестных которой не превышает m (см. статью).
