Прием Фридрихса расширения положительно определенного оператора в гильбертовом пространстве до самосопряженного (и, следовательно, имеющего всюду ограниченный обратный) является в настоящее время, повидимому, наиболее простым способом доказательства теорем существования решений краевых задач для самосопряженных уравнений эллиптического типа. Действительно, согласно Фридрихсу, дело сводится к доказательству неравенства, выражающего положительную определенность оператора в соответствующем гильбертовом пространстве, после чего существование обобщенного решения задачи становится очевидным. При этом сама процедура расширения оператора, имеющая в каждом случае свое конкретное теоретико-функциональное содержание, указывает, в каком смысле это обобщенное решение следует понимать. Предлагаемая заметка имеет целью показать, что результат Фридрихса справедлив и для положительно определенных операторов, действующих из одного пространства Банаха в другое, ему сопряженное. В качестве применения приводятся некоторые результаты о разрешимости эллиптических краевых задач.
Л. В. Канторовичем предложен новый прямой метод решения задач вариационного исчисления, названный им методом наискорейшего спуска. Как показал Л. В. Канторович, метод может быть с успехом использован для приближенного решения линейных функциональных уравнений в гильбертовом пространстве. Кроме того, метод наискорейшего спуска Л. В. Канторовичем применен и к задаче о собственных значениях вполне непрерывных операторов. В приложении к этой задаче метод состоит в следующем. В настоящей заметке приводится доказательство сходимости процесса без предположения близости х 0 к х*. Кроме того, производится сравнение метода наискорейшего спуска с известным итеративным способом вычисления собственных значений и исследуется многошаговый вариант рассматриваемого метода. При этом в дальнейшем не используется предположение о том, что т = 0.
